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如图,抛物线y=ax2+bx+2与直线l交于点A、B两点,且A点为抛物线与y轴的交点,B(-2,-4),抛物线的对称轴是直线x=2,过点A作AC⊥AB,交抛物线于点C、x轴于点D.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)求点D的坐标;
(3)抛物线上是否存在点K,使得以AC为边的平行四边形ACKL的面积等于△ABC的面积?若存在,请直接写出点K的横坐标;若不存在,请说明理由.[提示:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为x=-
b
2a
,顶点坐标为(-
b
2a
4ac-b2
4a
)].
考点:二次函数综合题
专题:
分析:(1)根据对称轴为直线x=2和B是抛物线上点即可求得a、b的值,即可解题;
(2)易求得点A坐标,作BE⊥x轴于E,易证△ABE∽△DAO,可得
BE
AO
=
AE
OD
,即可求得OD的值,即可解题;
(3)易求得AB长度,再根据S△ABC=
1
2
AB•AC=S平行四边形ACKL,可得点K到直线AC距离为
1
2
AB,易求得直线AC解析式,将直线AC向左向右平移
1
2
AB个单位,求得直线与抛物线交点即可解题.
解答:解:(1)∵对称轴为x=2,抛物线经过点B,
-
b
2a
=2
4a-2b+2=-4

∴解得:a=-
1
2
,b=2,
∴抛物线的解析式是:y=-
1
2
x2+2x+2;
(2)∵点A在y轴上,令x=0,则y=2,
∴点A坐标(0,2),
作BE⊥x轴于E,

∵AC⊥AB,AO⊥OD,
∴△ABE∽△DAO,
BE
AO
=
AE
OD

∵B(-2,-4),
∴OA=2,AE=6,BE=2,
∴OD=6,
∴点D坐标是(6,0);
(3)答:存在两个满足条件的点K,

∵AB=2
10

∴S△ABC=
1
2
AB•AC=S平行四边形ACKL
∴点K到直线AC距离为
1
2
AB=
10

①直线KL解析式为y=-
1
3
x+2+
10

则-
1
3
x+2+
10
=-
1
2
x2+2x+2,
解得:x=
7+
109
3

②直线KL解析式为y=-
1
3
x+2-
10

则-
1
3
x+2-
10
=-
1
2
x2+2x+2,
解得:x=
7-
109
3

∴存在K点,横坐标为
7-
109
3
7+
109
3
点评:本题考查了二次函数与一次函数交点的求解,考查了二次函数解析式的求解,考查了相似三角形的判定和相似三角形对应边比例相等的性质,考查了点到直线的距离的计算,本题中求得点K到直线AC距离为
1
2
AB是解题的关键.
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(1)求抛物线解析式;
(2)F是抛物线对称轴上一点,且tan∠AFE=
1
2
,求点O到直线AF的距离;
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,∠C=
 

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阅读下面的文字,完成解答过程.
(1)如果有
1
1×2
=1-
1
2
 
1
2×3
=
1
2
-
1
3
 
1
3×4
=
1
3
-
1
4

1
2013×2014
=
 

(2)用含有n的式子表示你发现的规律.
(3)根据(1)的规律来计算
1
1×4
+
1
4×7
+
1
7×10
+…+
1
2014×2017
的值.

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