Question

【题目】如图，边长为2的正方形ABCD，点P在边BC上（不与B，C重合），将△ABP沿AP向右翻折，得到△AEP，DE所在直线与AP所在直线交于点F．

（1）如图，若∠BAP=30°，求∠AFE的度数；

（2）若点E恰为线段DF的中点时，请通过运算说明点P会在线段BC的什么位置？直接写出此时

∠AFD的度数；

（3）若点P是线段BC上任意一点时（不与B，C重合），∠AFD的度数是否会发生变化？试证明你的结论．

Answer 1

【答案】（1）45°；（2）点P在线段BE的垂直平分线上,45°;

（3）∠AFD的度数不会发生变化，理由见解析

【解析】分析：（1）当点P在线段BC上时，由折叠得到一对角相等，再利用正方形性质求出∠DAE度数，在三角形AFD中，利用内角和定理求出所求角度数即可；（2）由E为DF相等，得到P为BC中点，如图1，连接BE交AF于点O，作EG∥AD，得EG∥BC，得到AF垂直平分BE，进而得到三角形BOP与三角形EOG全等，利用全等三角形对应边相等得到BP=EG=1，得到P为BC中点，进而求出所求角度数即可；（3）若点P是线段BC上任意一点时（不与B，C重合），∠AFD的度数不会发生变化，理由为：作AG⊥DF于点G，如图1（a）所示，利用折叠的性质及三线合一性质，根据等式的性质求出∠1+∠2的度数，即为∠FAG度数，即可求出∠F度数；

本题解析：

（1）∵∠EAP=∠BAP=30°，

∴，

在△ADE中，AD=AE，∠DAE=30°，

∴，

在△AFD中，∠FAD=30°+30°=60°，∠ADF=75°，

∴；

（2）点E为DF的中点时，P也为BC的中点，理由如下：

如图1，连接BE交AF于点O，作EG∥AD，得EG∥BC，

∵EG∥AD，DE=EF，

∴，

∵AB=AE，

∴点A在线段BE的垂直平分线上，

同理可得点P在线段BE的垂直平分线上，

∴AF垂直平分线段BE，

∴OB=OE，

∵GE∥BP，

∴∠OBP=∠OEG，∠OPB=∠OGE，

∴△BOP≌△EOG，

∴BP=EG=1，即P为BC的中点，

的度数为；

（3）∠AFD的度数不会发生变化，

证明：作AG⊥DF于点G，如图2所示，

在△ADE中，AD=AE，AG⊥DE，

∵AG平分∠DAE，即∠2=∠DAG，且∠1=∠BAP，

∴，即∠FAG=45°，

则．