精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
如图,已知:点E在△ABC的边AB上,∠C=90°,以AE为直径的⊙O切BC于D.
(1)求证:AD平分∠BAC.
(2)已知∠B=30°,AD=2
3
,求图中阴影部分的面积.
考点:切线的性质,扇形面积的计算
专题:
分析:(1)连接OD,可证明OD∥AC,结合平行线的性质可证得结论;
(2)由直角三角形的性质可求得BD,再结合三角函数可求得OD,可求得△OBD和扇形OED的面积,可求得阴影部分面积.
解答:(1)证明:如图,连接OD,

∵BC为⊙O的切线,
∴OD⊥BC,且∠C=90°,
∴OD∥AC,
∴∠ODA=∠DAC,
又∵OD=OA,
∴∠OAD=∠ODA,
∴∠OAD=∠DAC,
即AD平分∠BAC;
(2)解:∵∠B=30°,
∴∠BAC=60°,
∴∠BAD=∠DAC=30°,
∴BD=AD=2
3

在Rt△OBD中,tan∠B=
OD
BD
,即
3
3
=
OD
2
3

∴OD=2,且∠BOD=60°,
∴S阴影=S△OBD-S扇形OED=
1
2
BD•OD-
60πOD2
360
=
1
2
×2
3
×2-
6
=2
3
-
3
点评:本题主要考查切线的性质,掌握过切点的半径和切线垂直是解题的关键,注意扇形面积公式的应用.
练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源: 题型:

墨墨的爸爸将一块长为(
24
5
a3+5b2)分米,宽为5a5分米的长方形铁皮的四个角都剪去一个边长为
1
2
a4的小正方形,然后沿虚线折成一个无盖的盒子,
(1)用含a,b的整式表示盒子的外表面积;
(2)若a=1,b=0.2,现往盒子的外表面上喷漆,每平方分米喷漆价格为15元,喷漆共需多少元?

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

已知,如图,∠B=∠C,∠A=∠D,求证:∠AMC=∠BND
证明:∵∠B=∠C(  )
 
(  )
 
  (  )
∵∠A=∠D(  )
 
(  )
 
 
(  )
 
(  )
 
(对顶角相等)
 
(  )

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

如图所示,△ABC与△DEF是两个全等的等腰直角三角形,BC=EF=8,∠C=∠F=90°,且点C、E、B、F在同一条直线上,将△ABC沿CB方向平移,设AB与DE相交于P点,设CE=x,△PBE的面积为S,求:
(1)S与x之间的函数关系式,并指出自变量的取值范围;
(2)当x=3时,求△PBE的面积.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

6
2x-1
表示一个整数,则整数x可取的值共有(  )
A、8个B、4个C、3个D、2个

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

已知一次函数y=k1x+b1和y=k2x+b2的图象分别是直线l1和l2,根据图象填空:
(1)方程k1x+b1=0的根是
 
;不等式k1x+b1<0的解集是
 

(2)不等式k2x+b2>0的解集是
 
;方程k2x+b2=-2的根是
 

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

如图所示,在等腰Rt△ABC中,AD平分∠BAC,BD⊥AD,BC交AD于F.
(1)求证:BD=
1
2
AF;
(2)若E为AB中点,求证:DE=
1
2
AB.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

如图,点C为线段AB上任意一点(不与A、B两点重合),分别以AC、BC为一腰在AB的同侧作等腰△ACD和等腰△BDE,CA=CD,CB=CE,∠ACD与∠BDE都是锐角且∠ACD=∠BCE,连接AE交CD于点M,连接BD交CE于点N,AE与BD交于点P,连接PC.
(1)求证:△ACE≌△DCB;
(2)请你判断△AMC与△DPM的形状有何关系,并说明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

有位财主临终前将一块平行四边形的田地分给两个儿子,如图①,O为田中一口井,他决定把相对的两块三角形的田地(△AOB、△COD)给大儿子,剩下的全部给小儿子,这口井两家合用.遗嘱公布之后,亲友们议论纷纷,有的说这样太不公平.聪明的同学,你认为这样公平吗?
如图②,如果点O在边BC上,你能否找到一个简捷的分法,使得两个儿子分得的地一样大,而且共用一口井?

查看答案和解析>>

同步练习册答案