Question

如图所示，矩形AOBC在直角坐标系中，O为原点，A在x轴上，B在y轴上，直线AB函数关系式为，M是OB上的一点，若将梯形AMBC沿AM折叠，点B恰好落在x轴上的点B′处，C的对应点为C′．
（1）求出B′和M的坐标；
（2）求直线A C′的函数关系式；
（3）若⊙P的圆心P是直线AM上的一个动点，且⊙P与直线AB、x轴、y轴都相切，试求点P的坐标．

Answer 1

解：（1）直线AB：y=-x+8中，令x=0，得到y=8，即B（0，8）；令y=0，得到x=6，即A（6，0），
由折叠可得：AB=AB′==10，
∴OB′=AB′-OA=10-6=4，即B′（-4，0），
在Rt△B′OM中，B′M=BM，OM+BM=8，
设B′M=BM=x，则有OM=8-x，
根据勾股定理得：B′M²=OB′²+OM²，即x²=16+（8-x）²，
解得：x=5，
∴OM=8-5=3，即M（0，3）；

（2）设直线B′M解析式为y=kx+b，
将B′（-4，0）和M（0，3）代入得：，
解得：，
∴直线B′M解析式为y=x+3，
∵AC′∥B′M，
∴直线AC′解析式为y=x+m，
将A（6，0）代入得：m=-，
则直线AC′解析式为y=x-；

（3）当P在△AOB内部时，由⊙P与直线AB、x轴、y轴都相切，得到P为Rt△AOB的内心，
设P（a，a），内切圆半径r=a==2，此时P（2，2）；
当P位于第二象限时，设P（-b，b）（b＞0），⊙P半径为b，
根据题意得：P到直线AB：4x+3y-24=0的距离d=b，即=b，
整理得：（b+24）²=25b²，即b²-2b-24=0，
分解因式得：（b-6）（b+4）=0，
解得：b=6或b=-4（舍去），
此时P（-6，6），
综上，满足题意P的坐标为（2，2）或（-6，6）．
分析：（1）对于直线AB解析式，令x=0与y=0，分别求出y与x的值，确定出A与B坐标，由折叠得AB=AB′，由AB′-OA求出OB′的值，确定出B′的坐标，在Rt△B′OM中，B′M=BM，OM+BM=8，设B′M=BM=x，则有OM=8-x，根据勾股定理求出x的值，确定出OM长，即可求出M坐标；
（2）设直线B′M解析式为y=kx+b，将B′与M坐标代入求出k与b的值，确定出直线B′M解析式，由B′M与AC′平行，得到斜率相等，设出直线AC′解析式为y=x+m，将A坐标代入求出m的值，即可确定出直线AC′解析式；
（3）当P在△AOB内部时，由⊙P与直线AB、x轴、y轴都相切，得到P为Rt△AOB的内心，求出直角三角形的内切圆半径，即可确定出P的坐标；当P位于第二象限时，设P（-b，b）（b＞0），⊙P半径为b，利用点到直线的距离公式列出关于b的方程，求出方程的解得到b的值，即可确定出P坐标．
点评：此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法求一次函数解析式，勾股定理，折叠的性质，点到直线的距离公式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．