Question

16．如图，直线l：y=kx+b（k＜0）与函数y=$\frac{4}{x}$（x＞0）的图象相交于A、C两点，与x轴相交于T点，过A、C两点作x轴的垂线，垂足分别为B、D，过A、C两点作y轴的垂线，垂足分别为E、F；直线AE与CD相交于点P，连接DE．设A、C两点的坐标分别为（a，$\frac{4}{a}$）、（c，$\frac{4}{c}$），其中a＞c＞0．
（1）如图①，求证：∠EDP=∠ACP；
（2）如图②，若A、D、E、C四点在同一圆周上，求k的值；
（3）如图③，已知c=1，且点P在直线BF上，试问：在线段AT上是否存在点M，使得OM⊥AM？如存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由P、E、D的坐标可表示出PA、EP、PC和DP的长，可证明△EPD∽△CPA，利用相似三角形的性质可证得结论；
（2）连接AD、EC，可证明△AEC≌△CDA，可得CD=AE，把A、C坐标代入直线l解析式，可求得k的值；
（3）假设在线段AT上存在点M，使得OM⊥AM，连接OM、OA，可表示出C、F、P、B的坐标，利用直线BF的解析式可求得a的值，可求得A点坐标，可求得T点坐标，在△OAT中，利用等积法可求得OM的长，在RtOMT中可求得MT的长，作MN⊥x轴，同理可求得MN的长，则可求得ON的长，可判断N在线段BT上，满足条件，从而可知存在满足条件的M点．

解答 （1）证明：
由题意可知P（c，$\frac{4}{c}$），E（0，$\frac{4}{a}$），D（c，0），
∴PA=a-c，EP=c，PC=$\frac{4}{c}$-$\frac{4}{a}$=$\frac{4（a-c）}{ac}$，DP=$\frac{4}{a}$，
∴$\frac{EP}{PA}$=$\frac{c}{a-c}$=$\frac{DP}{PC}$，且∠EPD=∠APC，
∴△EPD∽△CPA，
∴∠EDP=∠ACP；
（2）解：如图1，连接AD、EC，

由（1）可知DE∥AC，
∴∠DEC+∠ECA=180°，
∵A、D、E、C四点在同圆周上，
∴∠DEC+∠DAC=180°，
∴∠ECA=∠DAC，
在△AEC和△CDA中
$\left\{\begin{array}{l}{∠ECA=∠DAC}\\{∠AEC=∠CDA}\\{AC=CA}\end{array}\right.$
∴△AEC≌△CDA（AAS），
∴CD=AE，即a=$\frac{4}{c}$，可得ac=4，
∵A、C在直线l上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{ka+b=\frac{4}{a}}\\{kc+b=\frac{4}{c}}\end{array}\right.$，解得k=$\frac{\frac{4}{a}-\frac{4}{c}}{a-c}$=-$\frac{4}{ac}$=-1；

（3）假设在线段AT上存在点M，使OM⊥AM，连接OM、OA，作MN⊥x轴于点N，如图2，

∵c=1，
∴C（1，4），F（0，4），P（1，$\frac{4}{a}$），B（a，0），
设直线BF的解析式为y=k′x+4，由题意可得$\left\{\begin{array}{l}{k′a+4=0}\\{k′+4=\frac{4}{a}}\end{array}\right.$，解得a=2，
∴A（2，2），
∴AP为△DCT的中位线，
∴T（3，0），
∴AT=$\sqrt{（3-1）^{2}+（0-2）^{2}}$=$\sqrt{5}$
∵S_△OAT=$\frac{1}{2}$OT•AB=$\frac{1}{2}$AT•OM，
∴OM=$\frac{OT•AB}{AT}$=$\frac{3×2}{\sqrt{5}}$=$\frac{6}{\sqrt{5}}$，
在Rt△OMT中，MT=$\sqrt{O{T}^{2}-O{M}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}-\frac{36}{5}}$=$\frac{3}{\sqrt{5}}$，
同理可求得MN=$\frac{OM•MT}{OT}$=$\frac{6}{5}$，
在Rt△OMN中，ON=$\sqrt{O{M}^{2}-M{N}^{2}}$=$\sqrt{\frac{36}{5}-\frac{36}{25}}$=$\frac{12}{5}$，
∵2＜$\frac{12}{5}$＜3，
∴点M在线段AT上，
即在线段AT上存在点M，使得OM⊥AM，M点的坐标为（$\frac{12}{5}$，$\frac{6}{5}$）．

点评 本题为反比例函数的综合应用，涉及相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、圆的性质、勾股定理、等积法等知识．在（1）中证得△EPD∽△CPA是解题的关键，在（2）中构造全等三角形，求得ac=4是解题的关键，在（3）中求得A点坐标，再分别求得OM和ON的长是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，计算量较大，难度适中．