Question

已知⊙O₁与⊙O₂交于A、B两点，且⊙O₁的半径为2，⊙O₂的半径为

2

，AB长为2，则∠O₁AO₂=

15°或105°

．

Answer 1

分析：连接AO₁、AO₂、O₁O₂，根据相交两圆的性质得出AC⊥O₁O₂，AC=BC=

1

2

AB=1，分为两种情况：如图1，根据cos∠O₁AC，能求出∠O₁AC=60°，同理求出∠O₂AC=45°，即可求出∠O₁AO₂=15°②如图2所示：依据①的结果求出∠O₁AO₂=105°．

解答：解：连接AO₁、AO₂、O₁O₂，
∵AB是⊙O₁和⊙O₂的公共弦，
∴AC⊥O₁O₂，AC=BC=

1

2

AB=1，
有两种情况：如图：
①图1，∵cos∠O₁AC=

AC

AO1

=

1

2

，
∴∠O₁AC=60°，
同理∠O₂AC=45°，
∴∠O₁AO₂=60°-45°=15°；
②如图2所示：∠O₁AO₂=60°+45°=105°；
故答案为：15°或105°．

点评：本题考查了对相交两圆的性质和锐角三角函数的定义的应用，注意：要进行分类讨论，题目比较典型，是一道比较容易出错的题目．