Question

【题目】如图1，线段AB是圆O的直径，弦CD⊥AB于点H，点M是弧CBD上任意一点，AH＝4，CD＝16．

（1）求圆O的半径r的长度；

（2）求tan∠CMD；

（3）如图2，直径BM交直线CD于点E，直线MH交圆O于点N，连接BN交CE于点F，求HEHF的值．

Answer 1

【答案】（1）圆O的半径r的长度为10；（2）tan∠CMD＝；（3）HEHF的值为64．

【解析】

（1）在Rt△COH中，利用勾股定理即可解决问题；

（2）只要证明∠CMD=∠COA，求出tan∠COA即可；

（3）由△EHM∽△NHF，推出HEHF=HMHN，又HMHN=AHHB，推出HEHF=AHHB，由此即可解决问题

（1）如图1中，连接OC．

∵AB⊥CD，∴∠CHO=90°，

在Rt△COH中，∵OC=r，OH=r-4，CH=4，

∴r2=42+（r-4）2，∴r=10．

答：圆O的半径r的长度为10；

（2）如图1中，连接OD．

∵AB⊥CD，AB是直径，

∠COA=，∠M=，

∴∠COA=∠CMD，

∴tan∠CMD=tan∠COA=；

（3）如图2中，连接AM．

∵AB是直径，

∴∠AMB=90°，

∴∠MAB+∠ABM=90°，

∵∠E+∠ABM=90°，

∴∠E=∠MAB，

∴∠MAB=∠MNB=∠E，

∵∠EHM=∠NHF

∴△EHM∽△NHF，

∴HEHF=HMHN，

∵HMHN=AHHB，

∴HEHF=AHHB=164=64．

答：HEHF的值为64．