Question

【题目】函数y=x2+bx+c的图像与x 轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OB=OC．点D在函数图像上，CD//x轴，且CD=2，直线l 是抛物线的对称轴，E是抛物线的顶点．

（1）求b、c 的值；

（2）如图①，连接BE，线段OC 上的点F 关于直线l 的对称点F′ 恰好在线段BE上，求点F的坐标；

（3）如图②，动点P在线段OB上，过点P 作x 轴的垂线分别与BC交于点M，与抛物线交于点N．试问：抛物线上是否存在点Q，使得△PQN与△APM的面积相等，且线段NQ的长度最小？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，说明理由．

图 ① 图②

Answer 1

【答案】（1）c=-3；（2）点F的坐标为（0，-2）；（3）满足题意的点Q的坐标为（,）和(,)

【解析】

（1）由条件可求得抛物线对称轴，则可求得b的值；由OB=OC，可用c表示出B点坐标，代入抛物线解析式可求得c的值；

（2）可设F（0，m），则可表示出F′的坐标，由B、E的坐标可求得直线BE的解析式，把F′坐标代入直线BE解析式可得到关于m的方程，可求得F点的坐标；

（3）设点P坐标为（n，0），可表示出PA、PB、PN的长，作QR⊥PN，垂足为R，则可求得QR的长，用n可表示出Q、R、N的坐标．在Rt△QRN中，由勾股定理可得到关于n的二次函数，利用二次函数的性质可知其取得最小值时n的值，则可求得Q点的坐标．

（1）∵CD∥x轴，CD=2，∴抛物线对称轴为x=1，∴．

∵OB=OC，C（0，c），∴B点的坐标为（﹣c，0），∴0=c2+2c+c，解得：c=﹣3或c=0（舍去），∴c=﹣3；

（2）设点F的坐标为（0，m）．

∵对称轴为直线x=1，∴点F关于直线l的对称点F的坐标为（2，m）．

由（1）可知抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，∴E（1，﹣4）．

∵直线BE经过点B（3，0），E（1，﹣4），∴利用待定系数法可得直线BE的表达式为y=2x﹣6．

∵点F在BE上，∴m=2×2﹣6=﹣2，即点F的坐标为（0，﹣2）；

（3）存在点Q满足题意．

设点P坐标为（n，0），则PA=n+1，PB=PM=3﹣n，PN=﹣n2+2n+3．

作QR⊥PN，垂足为R．

∵S△PQN=S△APM，∴，∴QR=1．

分两种情况讨论：

①点Q在直线PN的左侧时，Q点的坐标为（n﹣1，n2﹣4n），R点的坐标为（n，n2﹣4n），N点的坐标为（n，n2﹣2n﹣3），∴在Rt△QRN中，NQ2=1+（2n﹣3）2，∴时，NQ取最小值1．此时Q点的坐标为；

②点Q在直线PN的右侧时，Q点的坐标为（n+1，n2﹣4）．

同理，NQ2=1+（2n﹣1）2，∴时，NQ取最小值1．此时Q点的坐标为．

综上可知存在满足题意的点Q，其坐标为或．