Question

设A=100!=12ⁿ•M，其中M，n均是自然数，则n的最大值是多少？

Answer 1

考点：取整计算

专题：

分析：分别找到1至100中包含质因数3的次数，包含质因数2的次数，从而得到100!的结果包含因数12的次数，从而求解．

解答：解：1至100中，
3¹的倍数共有100÷3个，整商=33个；
3²的倍数共有100÷（3×3），整商=11个；
3³的倍数共有100÷（3×3×3），整商=3个；
3⁴的倍数共有100÷（3×3×3×3），整商=1个；
所以100!的结果包含质因数3的次数是33+11+3+1=48．
2¹的倍数共有100÷2，整商=50个；
2²的倍数共有100÷（2×2），整商=25个；
2³的倍数共有100÷（2×2×2），整商=12个；
2⁴的倍数共有100÷（2×2×2×2），整商=6个；
2⁵的倍数共有100÷（2×2×2×2×2），整商=3个；
2⁶的倍数共有100÷（2×2×2×2×2×2），整商=1个；
所以100!的结果包含质因数2的次数是50+25+12+6+3+1=97；
2⁹⁷=4⁴⁸×2，
3⁴⁸×4⁴⁸=12⁴⁸．
所以，100!的结果包含因数12的次数是48．
故n的最大值是48．

点评：考查了取整计算，简单解答：100!中含有3⁴⁸和2⁹⁷（也就是4⁴⁸×2），依此可得100!的结果包含因数12的次数．