Question

19．在△ABC中，AB=AC，BC=12，∠B=30°，AB的垂直平分线DE交BC边于点E，AC的垂直平分线MN交BC于点N．
（1）求△AEN的周长；
（2）求证：BE=EN=NC．

Answer 1

分析 （1）根据线段的垂直平分线的性质得到EB=EA，NA=NC，根据三角形的周长公式计算即可；
（2）根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质证明△AEN是等边三角形，等量代换证明即可．

解答 （1）解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴EB=EA，
∵MN是AC的垂直平分线，
∴NA=NC，
则△AEN的周长=AE+AN+EN=BE+EN+NC=BC=12；
（2）证明：∵AB=AC，∠B=30°，
∴∠C=∠B=30°，
∵EB=EA，NA=NC，
∴∠EAB=∠B=30°，∠NAC=∠C=30°，
∴∠AEN=∠EAB+∠B=60°，∠ANE=∠NAC+∠C=60°，
∴△AEN是等边三角形，
∴BE=EN=NC．

点评 本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．