已知a,b,c,d是两两不等的正整数,并且a+b=cd,ab=c+d.求出所有满足上述要求的四元数组(a,b,c,d).
解:由于a≠b,所以当且仅当a=1或b=1时才有a+b≥ab,如果a、b都不等于1,则c+d=ab>a+b=cd,
由此知c=1或d=1,
因此a、b、c、d中总有一个(也只有一个)为1,
如果a=1,则c=2,d=3,b=5或c=3,d=2,b=5;
b=1,则c=2,d=3,a=5或c=3,d=2,a=5;
c=1,则a=2,b=3,d=5或a=3,b=2,d=5;
d=1,则a=2,b=3,c=5或a=3,b=2,c=5.
故答案为:(1,5,2,3)、(1,5,3,2)、(5,1,2,3)、(5,1,3,2)、(2,3,1,5)、(2,3,5,1)、(2,3,5,1)、(3,2,1,5).
分析:先根据当且仅当a=1或b=1时才有a+b≥ab,如果a、b都不等于1,则c+d=ab>a+b=cd,由此知c=1或d=1,因此a、b、c、d中总有一个(也只有一个)为1,再根据a、b、c、d分别为1进行讨论即可.
点评:本题考查的是方程的整数根问题,根据题意得出a、b、c、d中总有一个(也只有一个)为1是解答此题的关键.