Question

⊙O与⊙O₁相交于A、B，R、r分别为⊙O与⊙O₁的半径，且R＞r．
（1）C在⊙O₁上，且是⊙O₁与⊙O相交所得劣弧的中点，过C作⊙O₁的切线交⊙O于E、F，求证：O₁E•O₁F为定值；
（2）如果按前面的条件不变，而是过劣弧ACB上任一点G作⊙O₁的切线与⊙O相交（A、B、C三点除外），（1）中的结论仍成立吗？请画出图形，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）过O₁作⊙O直径O₁D交⊙O₁于C′，连接DE、O₁A、O₁B、OA、OB，可以证明Rt△O₁CE∽Rt△O₁ED，然后根据垂径定理即可求证；
（2）作⊙O的直径O₁D，连接DE、O₁G，可以证明Rt△O₁DE∽Rt△O₁FG即可求证．

解答：
（1）证明：如图（1）过O₁作⊙O直径O₁D交⊙O₁于C′，连接DE、O₁A、O₁B、OA、OB，
∵OA=OB，O₁A=O₁B，OO₁为公共边，
∴△AOO₁≌△BOO₁，
∴∠AO₁C′=∠BO₁C′，
∴弧AC′=弧BC′，
∴C′是弧AB中点，
又∵C是AB中点，
∴C与C′重合，
∵EF是⊙O₁的切线，
∴∠O₁ED=∠O₁CE=90°，
∴△O₁CE∽△O₁ED，
∴Rt△O₁CE∽Rt△O₁ED，
∴

O1D

O1C

=

O1D

O1E

，即O₁E₂=O₁C•O₁D=2Rr（5分）
由垂径定理知O₁E=O₁F
∴O₁E•O₁F=2Rr，即O₁E•O₁F为定值．（6分）

（2）（1）中的结论仍成立．（7分）
证明：如图（2），作⊙O的直径O₁D，连接DE、O₁G，（8分）
则∠D=∠F，EF是⊙O₁的切线，
∴∠O₁ED=∠O₁GF=90°，
∴Rt△O₁DE∽Rt△O₁FG，（ 9分）
∴

O1F

O1D

=

O1G

O1E

，
∴O₁E•O₁F=O₁D•O₁G=2Rr，
即O₁E•O₁F为定值．（10分）

点评：本题主要考查了相似三角形的判定与性质，证明等积式成立的基本方法是转化为比例式，然后转化为证明三角形相似．