Question

14．阅读下列材料，然后解答问题．
                                                                 学会从不同的角度思考问题
学完平方差公式后，小军展示了以下例题：
例  求（2+1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）（2¹⁶+1）+1值的末尾数字．
解：原式=（2-1）（2+1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）（2¹⁶+1）+1
=（2²-1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）（2¹⁶+1）+1
=（2⁴-1）（2⁴+1）（2⁸+1）（2¹⁶+1）+1
=（2⁸-1）（2⁸+1）（2¹⁶+1）+1
=（2¹⁶-1）（2¹⁶+1）+1
=2³²
由2ⁿ（n为正整数）的末尾数的规律，可得2³²末尾数数字是6．
爱动脑筋的小明，想出了一种新的解法：因为2²+1=5，而2+1，2⁴+1，2⁸+1，2¹⁶+1均为奇数，几个奇数与5相乘，末尾数字是5，这样原式的末尾数字是6．
在数学学习中，要向小明那样，学会观察，独立思考，尝试从不同角度分析问题，这样才能学会数学．
请解答下列问题：
（1）计算：（2+1）（2²+1）（2³+1）（2⁴+1）（2⁵+1）…（2ⁿ+1）+1（n为正整数）的值的末尾数字是6；
（2）计算：2（3+1）（3²+1）（3⁴+1）（3⁸+1）（3¹⁶+1）+1值的末尾数字是1；
（3）计算：2（3+1）（3²+1）（3⁴+1）（3⁸+1）+1．

Answer 1

分析 （1）根据题意给出的方法即可求出答案．
（2）根据题意可知原式=3³²，然后根据尾数特征即可求出答案．
（3）根据题意化简原式即可求出答案．

解答 解：（1）由小明的方法可知：2+1，2³+1，2⁴+1，2⁵+1，2⁶+1…，2ⁿ+1均为奇数，
∴几个奇数与5相乘，末尾数字是5，
∴（2+1）（2²+1）（2³+1）（2⁴+1）（2⁵+1）…（2ⁿ+1）+1（n为正整数）的值的末尾数字是6，

（2）原式=（3-1）（3+1）（3²+1）（3⁴+1）（3⁸+1）（3¹⁶+1）+1
=（3²-1）（3²+1）（3⁴+1）（3⁸+1）（3¹⁶+1）+1
=（3⁴-1）（3⁴+1）（3⁸+1）（3¹⁶+1）+1
=（3⁸-1）（3⁸+1）（3¹⁶+1）+1
=（3¹⁶-1）（3¹⁶+1）+1
=3³²
故尾数为1，
（3）原式=（3-1）（3+1）（3²+1）（3⁴+1）（3⁸+1）+1
=（3²-1）（3²+1）（3⁴+1）（3⁸+1）+1
=（3⁴-1）（3⁴+1）（3⁸+1）+1
=（3⁸-1）（3⁸+1）+1
=（3¹⁶-1）+1
=3¹⁶
故答案为：（1）6；（2）1；

点评 本题考查平方差公式，解题的关键是熟练运用平方差公式进行解答，本题属于基础题型．