Question

已知：如图，Rt△ABC，∠ACB=90°，点E是边BC上一点，过点E作FE⊥BC（垂足为E）交AB于点F，且EF=AF，以点E为圆心，EC长为半径作⊙E交BC于点D．
（1）求证：斜边AB是⊙E的切线；
（2）设若AB与⊙E相切的切点为G，AC=8，EF=5，连DA、DG，求S_△ADG．

Answer 1

分析：（1）过点E作EG⊥AB于点G，连接EA，根据角平分线的性质得到EG=EC即可证得斜边AB是⊙E的切线；
（2）已知可分别求得AE，GH，GC的长，从而求得S_Rt△DGC的值，那么S_△ADG就不难求得了．

解答：解：（1）过点E作EG⊥AB于点G，连接EA；
∵AF=EF，∠FEA+∠AEC=90°，∠AEC+∠EAC=90°，
∴∠FEA=∠FAE，
∴∠FAE=∠EAC，
∴AE为角平分线，
∴EG=EC，
∴斜边AB是⊙E的切线．

（2）连CG与AE相交于点H，由切线长定理得到：AC=AG=8，
由EF=AF=5；得FG=AG-AF=8-5=3，
在Rt△EFG中，根据勾股定理得：EG=CE=

EF2-FG2

=4，
∴AE=

AC2+CE2

=4

5

，又

1

2

AE•GH=

1

2

AG•GE，
∴GH=

AG•GE

AE

=

8 5

5

，GC=2GH=

16 5

5

，
∴DG=

(2CE)2-CG2

=

8 5

5

∴S_Rt△DGC=

1

2

DG•CG=

64

5

；
由Rt△DGC的面积为

64

5

，
∵CD是直径，
∴∠DGC=90°，
∵AG、AC是⊙E切线，
∴AE⊥CG，
∴∠EHC=90°=∠DGC，
∴DG∥AE，
∴S_△AGD=S_△DGE=

1

2

S_Rt△DGC=

32

5

．

点评：本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．