Question

如图，把一副三角板如图甲放置，其中∠ACB=∠DEC=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜边AB=6cm，DC=7cm，把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D′CE′，如图乙．这时AB与CD′相交于点O，D′E′与AB相交于点F，连接AD′．
（1）求∠OFE′的度数；
（2）求线段AD′的长；
（3）判断线段OF、E′F是否相等？若相等，请你加以证明；若不相等，说明你的理由．

Answer 1

分析：（1）如图所示，∠3=15°，∠E′=90°，∠1=∠2=75°，所以，可得∠OFE′=∠B+∠1=45°+75°=120°；
（2）由∠OFE′=∠120°，得∠D′FO=60°，所以∠4=90°，由AC=BC，AB=6cm，得OA=OB=OC=3cm，所以，OD′=CD′-OC=7-3=4cm，在Rt△AD′O中，利用勾股定理求出即可；
（3）利用在Rt△COF中，OF²=CF²-CO²．在Rt△CE′F中，E′F²=CF²-CE′²，比较CO与CE′即可得出答案．

解答：解：（1）如图，由题意可知∠3=15°，∠E′=90°，
∵∠1=∠2，
∴∠1=75°．                              
又∵∠B=45°，
∴∠OFE′=∠B+∠1=45°+75°=120°．  
     
（2）连接AD′．
∠OFE′=120°，∴∠D′FO=60°．
又∠CD′E′=30°，∴∠4=90°．              
AC=BC，AB=6cm，
∴OA=OB=3cm，
∠ACB=90°，
∴CO=

1

2

AB=

1

2

×6=3（cm）．
又∵CD′=7cm，
∴OD′=CD′-OC=7-3=4（cm）．
在Rt△AD′O中，AD′=

OA2+OD′2

=

32+42

=5（cm）． 

（3）OF≠E′F．
连接CF．
∵∠COF=90°，∠E′=90°，
在Rt△COF中，OF²=CF²-CO²．
在Rt△CE′F中，E′F²=CF²-CE′²．
∵CO=

1

2

AB=3cm，CE′=

1

2

CD′=

7

2

cm，
∴OF≠E′F．

点评：本题主要考查了勾股定理和旋转的性质，能熟练应用勾股定理，利用旋转前后的两个图形完全相等是解题关键．