Question

已知，如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，点E、F、G分别在边AB、BC、CD上，且AE=GF=GC．
（1）求证：四边形AEFG是平行四边形；
（2）若四边形AEFG是矩形，请探索∠EFB与∠FGC的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

（1）证明：∵在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，
∴∠B=∠C，
∵GF=GC，
∴∠GFC=∠C，
∴∠B=∠GFC，
∴AB∥GF，
又∵AE=GF，
∴四边形AEFG是平行四边形；

（2）解：若四边形AEFG是矩形，则∠EFB=∠FGC．
证明如下：过G作GH⊥FC，垂足为H，
∵GF=GC，
∴∠FGH=∠FGC，且∠FGH+∠GFC=90°，
∵∠EFG=90°，
∴∠EFB+∠GFH=90°，
∴∠EFB=∠FGH，
∴∠EFB=∠FGC．
分析：（1）根据等腰梯形同一底边上的两底角相等可得∠B=∠C，再根据等边对等角的性质得到∠C=∠GFC，所以∠B=∠GFC，然后根据同位角相等，两直线平行得到AB∥GF，又AE=GF，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明；
（2）过点G作GH⊥FC，根据矩形的四个角都是直角有∠EFG=90°，然后利用图中的角的关系进行转化即可得解．
点评：本题考查了平行四边形的判定，矩形的性质，等边对等角的性质，以及互余角的转化，数形结合，把已知条件与所求结论联系起来是解题的关键．