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如图1,我们将相同的两块含30°角的直角三角板Rt△DEF与Rt△ABC叠合,使DE在AB上,DE过点C,已知AC=DE=6.
(1)将图1中的△DEF绕点D逆时针旋转(DF与AB不重合),使边DF、DE分别交AC、BC于点P、Q,如图2.
①求证:△CQD∽△APD;
②连接PQ,设AP=x,求面积S△PCQ关于x的函数关系式;
(2)将图1中的△DEF向左平移(点A、D不重合),使边FD、FE分别交AC、BC于点M、N设AM=t,如图3.
①判断△BEN是什么三角形?并用含t的代数式表示边BE和BN;
②连接MN,求面积S△MCN关于t的函数关系式;
(3)在旋转△DEF的过程中,试探求AC上是否存在点P,使得S△PCQ等于平移所得S△MCN的最大值?说明你的理由.
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分析:(1)①易得∠BCD=∠A=60°,∠ADP=∠CDE,那么可得△CQD∽△APD②利用相似可得CQ=
3
x,那么PC=6-x.可表示出S△PCQ
(2)①由外角∠FEN=60°,∠B=30°,可得∠BNE=30°,∴NE=BN,那么△BEN是等腰三角形.易得AD=
1
2
t,AB=12,那么BE=12-AD-DE=6-
1
2
t.过E作EG⊥BN于点G.利用30°的三角函数可求得BG,进而求得BN
②容易利用t表示出MC、CN,即可表示出所求面积
(3)利用二次函数的最值表示出S△MCN的最大值,让前面所求的面积的代数式等于即可.
解答:解:(1)①证明:∵∠F=∠B=30°,∠ACB=∠BDF=90°∴∠BCD=∠A=60°,∵∠ADP+∠PDC=90°,∠CDE+∠PDC=90°∴△CQD∽△APD
②∵在Rt△ADC中,AD=3,DC=3
3

又∵△CQD∽△APD,CQ=
3
x.
∴S△PCQ=-
3
2
x2+3
3
x

(2)①△BEN是等腰三角形.BE=6-
1
2
t,BN=
3
(6-
1
2
t).
②S△MCN=
1
2
(6-t)×
3
2
t=-
3
4
[(t-3)2-9]

(3)存在.
由题意建立方程-
3
2
x2+3
3
x=
9
3
4

解得X=
6+3
2
2
6-3
2
2

即当AP=
6+3
2
2
或AP=
6-3
2
2
时,S△PCQ等于S△MCN的最大值.
点评:用到的知识点为:两角对应相等,两三角形相似;相似三角形的对应边成比例.
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