【题目】我们不妨约定:对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”.(注:凸四边形就是没有角度数大于180°的四边形,把四边形的任何一边向两方延长,其他各边都在延长所得直线的同一旁,这样的四边形叫做凸四边形.)
(1)①在“平行四边形,矩形,菱形,正方形”中,一定是“十字形”的有_________;②在凸四边形中,且,则该四边形_________“十字形”.(填“是”或“不是”)
(2)如图1,,,,是半径为1的上按逆时针方向排列的四个动点,与交于点,,当时,求的取值范围;
(3)如图2,在平面直角坐标系中,抛物线(,,为常数,,)与轴交于,两点(点在点的左侧),是抛物线与轴的交点,点的坐标为,记“十字形”的面积为,记,,,的面积分别为,,,.求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式:①;②;③“十字形”的周长为.
【答案】(1)①菱形,正方形;②不是;(2)();(3).
【解析】
(1)①根据十字形的定义结合平行四边形,矩形,菱形,正方形对角线的性质进行判断;
②假设当时,根据SSS定理证得,然后结合全等三角形的性质求得,从而根据题意判断四边形不是“十字形”;
(2)先根据圆周角定理求得,然后过点作于,于,连接,,结合垂径定理和勾股定理求得,然后根据题意列不等式组求解即可;
(3)由二次函数的性质求求得,,,,,然后结合三角形面积分别求得,,,,,然后根据题意列等式分别求得a,b的值,从而判断四边形是菱形,利用菱形性质求解c,求得抛物线解析式.
解:(1)①∵菱形,正方形的对角线互相垂直,
∴菱形,正方形是:“十字形”,
∵平行四边形,矩形的对角线不一定垂直,
∴平行四边形,矩形不是“十字形”,
故答案为:菱形,正方形;
②如图,
当时,在和中,,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴当时,四边形不是“十字形”,
故答案为:不是;
(2)∵,,,
∴,
∴,
∴,
∴,
如图1,过点作于,于,连接,,
∴,,,,,
四边形是矩形,
∴,,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴();
(3)由题意得,,,,,
∵,,
∴,,,,,,
∴,,
,
,,
∵,,
∴,
∴,
∴,
∴,,,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴,,,,
∴四边形是菱形,
∴,
∴,
即:,
∵,
∴,
∴或(舍),
即:.
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【题目】某网店专售一款电动牙刷,其成本为20元/支,销售中发现,该商品每天的销售量y(支)与销售单价x(元/支)之间存在如图所示的关系.
(1)求y与x之间的函数关系式.
(2)由于湖北省武汉市爆发了新型冠状病毒肺炎(简称“新冠肺炎”)疫情,该网店店主决定从每天获得的利润中抽出200元捐献给武汉,为了保证捐款后每天剩余利润不低于550元,如何确定这款电动牙刷的销售单价?
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【题目】数学课上,李老师准备了四张背面都一样的卡片A、B、C、D,每张卡片的正面标有字母a、b、c表示三条线段(如下图).把四张卡片背面朝上放在桌面上,李老师从这四张卡片中随机抽取一张卡片后不放回,再随机抽取一张.
⑴ 李老师随机抽取一张卡片,抽到卡片B的概率等于 ;
⑵ 求李老师抽取的两张卡片中每张卡片上的三条线段都能组成三角形的概率.
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【题目】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图,图象过点(﹣1,0),对称轴为直线x=2,下列结论:
①4a+b=0;②9a+c>3b;③,3a+c>0;④当x>﹣1时,y的值随x值的增大而增大.⑤(m为任意实数)其中正确的结论有_____.(填序号)
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【题目】如图,AB为⊙O的直径,P为BA延长线上一点,点C在⊙O上,连接PC,D为半径OA上一点,PD=PC,连接CD并延长交⊙O于点E,且E是的中点.
(1)求证:PC是⊙O的切线;
(2)若AB=8,CDDE=15,求PA的长.
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【题目】如图所示,半圆O的直径AB=4,=,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,连接CD,DB,OD.
(1)求证:△CDF≌△BDE;
(2)当AD= 时,四边形AODC是菱形;
(3)当AD= 时,四边形AEDF是正方形.
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【题目】“某市为处理污水,需要铺设一条长为4000米的管道,为了尽量减少施工对交通所造成的影响,实际施工时×××××.设原计划每天铺设管道x米,则可得方程.”根据此情境,题中用“×××××”表示得缺失的条件,应补为( )
A.每天比原计划多铺设10米,结果延期20天才完成任务
B.每天比原计划少铺设10米,结果延期20天才完成任务
C.每天比原计划多铺设10米,结果提前20天完成任务
D.每天比原计划少铺设10米,结果提前20天完成任务
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