Question

18．如图，在矩形ABCD中，AB=8cm，BC=6cm，动点E从点A出发．以2cm/s的速度沿射线AD方向运动，以AE为底边，在AD的右侧作等腰直角角形AEF，当点F落在射线BC上时，点E停止运动，设△AEF与矩形ABCD重叠部分的面积为S，运动的时间为t（s）．
（1）当t为何值时，点F落在射线BC上；
（2）当线段CD将△AEF的面积二等分时，求t的值；
（3）求S与t的函数关系式；
（4）当S=17时，求t的值．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性质和等腰直角三角形的性质得出FH=8cm，再由运动得出FH=t，即可；
（2）由等腰直角三角形的性质得出斜边上的高也是中线，根据三角形的中线把三角形AEF面积平分，判断出点F在CD上，即可；
（3）分三种情况先利用矩形和运动的特点显示出三角形高，底边和梯形的上下底，高，再利用三角形和梯形的面积公式求解；
（4）先判断出面积是17时，运动时间在3＜t≤6内，再直接代入函数关系式中，即可．

解答 解：（1）如图1，

过点F作FH⊥AD于H，
在矩形ABCD中，AB=8cm，BC=6cm，∠BAD=90°，
∵点F落在射线BC上，
∴FH=8cm，
∴t=8s，
（2）如图2，

∵△AEF是等腰直角三角形，
∴AE边上的高线也是该边的中线，
∴点F在边CD上时，CD将△AEF的面积二等分，
∵FD是直角三角形的斜边的直线，
∴由运动知，FD=AD=6=t，
∴t=6s，
（3）当0＜t≤3时，如图3，

过点F作FH⊥AD，
由运动知，AE=2t，
∴FH=$\frac{1}{2}$AE=t，
∴S=$\frac{1}{2}$AE×FH=t²，
当3＜t≤6时，如图4，

过点F作FH⊥AD，
由运动知，AE=2t，
∴DG=DE=2t-6，FH=t，DH=6-t，
∴S=$\frac{1}{2}$S_△AEF+S_梯形DHFG=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$AE×FH+$\frac{1}{2}$（DG+FH）×DH=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×2t×t+$\frac{1}{2}$（2t-6+t）×（6-t）=-t²+12t-18，
当6＜t≤8时，如图5，

过点F作FH⊥AD，
∴DG=AD=6
∴S=$\frac{1}{2}$S_△ADG=$\frac{1}{2}$AD×GD=18；
∴S=$\left\{\begin{array}{l}{{t}^{2}（0＜t≤3）}\\{-{t}^{2}+12t-18（3＜t≤6）}\\{18（6＜t≤8）}\end{array}\right.$，
（4）由函数关系式知，S=17的运动时间在3＜t≤6中，
将S=17代入S=-t²+12t-18中，
∴-t²+12t-18=17，
∴t=7（舍）或t=5
∴当S=17时，t的值为5s．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质，梯形，三角形的面积公式，用运动时间表示线段是解本题的关键．