Question

如图1，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点D是BC的中点．作正方形DEFG，使点A、C分别在DG和DE上，连接AE，BG．
（1）试猜想线段BG和AE的数量关系是

 

；
（2）将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转α（0°＜α≤360°），
①判断（1）中的结论是否仍然成立？请利用图2证明你的结论；
②若BC=DE=4，当AE取最大值时，求AF的值．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,勾股定理,等腰直角三角形,正方形的性质

专题：

分析：（1）由等腰直角三角形的性质及正方形的性质就可以得出△ADE≌△BDG就可以得出结论；
（2）①如图2，连接AD，由等腰直角三角形的性质及正方形的性质就可以得出△ADE≌△BDG就可以得出结论；
②由①可知BG=AE，当BG取得最大值时，AE取得最大值，由勾股定理就可以得出结论．

解答：解：（1）BG=AE．
理由：如图1，∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点D是BC的中点，
∴AD⊥BC，BD=CD，
∴∠ADB=∠ADC=90°．
∵四边形DEFG是正方形，
∴DE=DG．
在△ADE和△BDG中，

DC=DB ∠ADC=∠ADB DE=DG

，
∴△ADE≌△BDG（SAS），
∴BG=AE．
故答案为：BG=AE；
（2）①成立BG=AE．
理由：如图2，连接AD，
∵在Rt△BAC中，D为斜边BC中点，
∴AD=BD，AD⊥BC，
∴∠ADG+∠GDB=90°．         
∵四边形EFGD为正方形，
∴DE=DG，且∠GDE=90°，
∴∠ADG+∠ADE=90°，
∴∠BDG=∠ADE．
在△BDG和△ADE中，

BD=AD ∠BDG=∠ADE GD=ED

，
∴△BDG≌△ADE（SAS），
∴DG=AE；                           
②∵BG=AE，
∴当BG取得最大值时，AE取得最大值．
如图3，当旋转角为270°时，BG=AE．
∵BC=DE=4，
∴BG=2+4=6．
∴AE=6．
在Rt△AEF中，由勾股定理，得
AF=

AE2+EF2

=

36+16

，
∴AF=2

13

．

点评：本题考查了旋转的性质的运用，等腰直角三角形的性质的运用，勾股定理的运用，全等三角形的判定及性质的运用，正方形的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．