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如图,AB为⊙O的直径,CD为弦,且CD⊥AB,垂足为H.
(1)如果⊙O的半径为4,∠BAC=30°,求CD的长;
(2)若点E为ADB弧的中点,连接OE、CE.求证:CE平分∠OCD;
(3)在(1)的条件下,圆周上到直线AC距离为3的点有多少个?并说明理由.
分析:(1)根据垂径定理求出CD=2CH,求出OH,根据勾股定理求出CH即可.
(2)求出∠ACO=∠BCD,∠ACE=∠BCE,相减即可.
(3)根据BC=4和半径是4,即可得出答案.
解答:(1)解:∵AB⊥CD,
∴CD=2CH,∠CHA=90°,
∵OA=OC,∠BAC=30°,
∴∠ACO=∠BAC=30°,
∴∠COH=30°+30°=60°,
∴∠OCH=30°,
∴OH=
1
2
OC=
1
2
×4=2,
∴CH=
3
OH=2
3

∴CD=2CH=4
3


(2)证明:∵AB为直径,
∴∠ACB=90°=∠CHB,
∴∠A+∠B=∠B+∠BCH=90°,
∴∠A=∠BCD=∠ACO,
∵E为弧ADB的中点,
∴∠ACE=∠BCE,
∴∠ACE-∠ACO=∠BCE-∠BCD,
∴∠OCE=∠DCE,
即CE平分∠OCD.

(3)解:在(1)的条件下,圆周上到直线AC距离为3的点有2个,
理由是:在BC上截取BM=1,过M作AC的平行线交圆于N、Q,则此时两点符合题意,除去这两点以外,再没有符合题意的点了,
即在(1)的条件下,圆周上到直线AC距离为3的点有2个.
点评:本题考查了圆周角定理,垂径定理,含30度角的直角三角形性质的应用,题目比较好,但是有一定的难度.
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