分析 (1)连接OD,证明OD⊥CE,所以需证明∠CDA+∠ODA=90°;
(2)根据已知条件在Rt△CDO中,由勾股定理求得:CD=4,又CE切⊙O于D,EB切⊙O于B,由切线长定理得DE=EB,设DE=EB=x,在Rt△CBE中,由勾股定理得:CE2=BE2+BC2,则 (a+x)2=x2+(5+3)2,解得:x=6,即 BE=6,然后由正切函数的定义解得∠BEC的正切值.
解答 解:(1)直线CD与⊙O的位置关系是相切.
理由:
连接OD,如图所示:
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,
∴∠DAB+∠DBA=90°,
∵∠CDA=∠CBD,
∴∠DAB+∠CDA=90°,
∵OD=OA,
∴∠DAB=∠ADO,
∴∠CDA+∠ADO=90°,
即:OD⊥CE,
∴直线CD 是⊙O的切线.
即:直线CD 与⊙O的位置关系是相切.
(2)∵AC=2,⊙O的半径是3,
∴OC=2=3=5,OD=3,
在Rt△CDO中,由勾股定理得:CD=4.
∵CE切⊙O于D,EB切⊙O于B,
∴DE=EB,∠CBE=90°,
设DE=EB=x,
在Rt△CBE中,有勾股定理得:CE2=BE2+BC2,
则 (a+x)2=x2+(5+3)2,
解得:x=6,
即 BE=6,
∴tan∠BEC=$\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$,
即:tan∠BEC=$\frac{4}{3}$.
点评 本题考查了切线的性质、直线与圆的位置关系、解直角三角形,解题的关键是①掌握直线与圆的三种位置关系及其判定方法,②掌握圆的切线的性质及勾股定理的应用、正切函数的定义.
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