Question

4．在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如右图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．延长CB交x轴于点A₁，作正方形A₁B₁C₁C；延长C₁B₁交x轴于点A₂，作正方形A₂B₂C₂C₁，…按这样的规律进行下去，第2017个正方形的面积为5×（$\frac{3}{2}$）⁴⁰³²．

Answer 1

分析 根据相似三角形的判定原理，得出△AA₁B∽△A₁A₂B₁，继而得知∠BAA₁=∠B₁A₁A₂；利用勾股定理计算出正方形的边长；最后利用正方形的面积公式计算第一个正方形的面积，从中找出规律，进而可求出第n个正方形的面积．

解答 解：设正方形的面积分别为S₁，S₂…，S_n，
根据题意，得：AD∥BC∥C₁A₂∥C₂B₂，
∴∠BAA₁=∠B₁A₁A₂=∠B₂A₂x（同位角相等）．
∵∠ABA₁=∠A₁B₁A₂=∠A₂B₂x=90°，
∴△BAA₁∽△B₁A₁A₂，
在直角△ADO中，根据勾股定理，得：AD=$\sqrt{5}$，tan∠ADO=$\frac{OA}{OD}$=$\frac{1}{2}$，
∵tan∠BAA₁=$\frac{B{A}_{1}}{AB}$=tan∠ADO，
∴BA₁=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴CA₁=$\sqrt{5}$+$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
同理，得：C₁A₂=（$\sqrt{5}$+$\frac{\sqrt{5}}{2}$）×（1+$\frac{1}{2}$），
由正方形的面积公式，得：S₁=（$\sqrt{5}$）²=5，
S₂=（$\sqrt{5}$）²×（1+$\frac{1}{2}$）²，
S₃=（$\sqrt{5}$）²×（1+$\frac{1}{2}$）⁴=5×（$\frac{3}{2}$）⁴，
由此，可得S₂₀₁₇=（$\sqrt{5}$）²×（1+$\frac{1}{2}$）^2×2016=5×（$\frac{3}{2}$）⁴⁰³²．
故答案为：5×（$\frac{3}{2}$）⁴⁰³²．

点评 本题考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理的应用，解此题的关键是根据计算的结果得出规律，题目比较好，但是一道比较容易出错的题目．