Question

已知：如图，△ABC内接于⊙O₁，AB=AC．⊙O₂与BC相切于点B，与AB相交于点E，与⊙O₁相交于点D，直线AD交⊙O₂于点F，交CB的延长线于点G．求证：
（1）EF∥CG；
（2）AB•EB=DE•AG．

Answer 1

分析：（1）根据同弧所对的圆周角相等，可得∠FEB=∠FDB，∠FDB=∠C，则∠FEB=∠C，由等边对等角得，∠ABC=∠C，则∠FEB=∠ABC，由平行线的判定得EF∥CG；
（2）连接BF．可证△ADE∽△ABF，得

DE

BF

=

AE

AF

，再由EF∥CG，得

AB

AG

=

AE

AF

，从而可得

DE

BF

=

AB

AG

，再证BE=BF，得AB•BE=DE•AG．

解答：（1）证法一：连接BD．∵∠FEB=∠FDB，∠FDB=∠C．∴∠FEB=∠C．
又∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∴∠FEB=∠ABC，∴EF∥CG．
证法二：
也可证出∠AGB=∠EFD（同位角），得出EF∥CG．

（2）证法一：
∵EF∥CG，∴∠DFE=∠G．又∵∠DBE=∠DFE，∴∠DBE=∠G，
即∠DBE=∠CGA．∵∠ABC=∠C，∠ABC=∠BDE，∴∠BDE=∠C，
即∠BDE=∠GCA．∴△BDE∽△GCA．
∴

EB

AG

=

DE

CA

∵AB=AC，
∴AB•EB=DE•AG．
证法二：连接BF．
可证△ADE∽△ABF，得

DE

BF

=

AE

AF

．
由EF∥CG，得

AB

AG

=

AE

AF

，从而可得

DE

BF

=

AB

AG

再证BE=BF，得AB•BE=DE•AG．

点评：本题综合考查了切线的性质，相似三角形，解直角三角形等知识点的运用．此题是一个大综合题，难度较大．