如图.在Rt△ABC中.∠ACB=90°.∠B=60°.BC=2．点O是AC的中点.过点O的直线x从与AC重合的位置开始.绕点O作逆时针旋转.交AB边于点D．过点C作CE∥AB交直线l于点E.设直线l的旋转角为a．(1)①当a= °时.四边形EDBC是等腰梯形.此时AD的长为 , ②当a= °时.四边形EDBC是直角梯形.此时AD的长为 ,(2)当a=90°时.判断四边� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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(满分l2分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2．点O是AC的中点，过点O的直线x从与AC重合的位置开始，绕点O作逆时针旋转，交AB边于点D．过点C作CE∥AB交直线l于点E，设直线l的旋转角为a．
(1)①当a=______°时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为_________；
②当a=______°时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD的长为_________；
(2)当a=90°时，判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由。

解：(1)①30 1 ②60 1.5                                   ……4分
(2)当∠a=90°时，四边形EDBC是菱形．
∵∠a=∠ACB=90°，∴BC∥ED．
∵CE∥AB，∴四边形EDBC是平行四边形．                        ……7分
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2，∴∠A=30°．
∴AB=4，AC=2．∴AO=AC=．                            ……9分
在Rt△AOD中，∠A=30°．∴AD=2．∴BD=2．∴BD=BC．
又∵四边形EDBC是平行四边形，∴四边形EDBC是菱形.            ……12分

解析

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小慧还发现：三角形纸片在上述两次旋转的过程中，顶点O运动所形成的图形是两段
圆弧，即和，顶点O所经过的路程是这两段圆弧的长度之和，并且这两段圆弧
与直线l₁围成的图形面积等于扇形AOO₁的面积、△AO₁B₁的面积和扇形B₁O₁O₂的面积之
和．
小慧进行类比研究：如图②，她把边长为1的正方形纸片OABC放在直线l₂上，OA
边与直线l₂重合，然后将正方形纸片绕着顶点^按顺时针方向旋转90°，此时点O运动到
了点O₁处（即点B处），点C运动到了点C₁处，点B运动到了点B₁处；小慧又将正方形
纸片AO₁C₁B₁绕顶点B₁按顺时针方向旋转90°，……，按上述方法经过若干次旋转后．她
提出了如下问题：
问题①：若正方形纸片OABC接上述方法经过3次旋转，求顶点O经过的路程，并
求顶点O在此运动过程中所形成的图形与直线l₂围成图形的面积；若正方形纸片OA BC
按上述方法经过5次旋转，求顶点O经过的路程；
问题②：正方形纸片OABC按上述方法经过多少次旋转，顶点O经过的路程是
?
请你解答上述两个问题．