Question

平面直角坐标中，对称轴平行于y轴的抛物线经过原点O，其顶点坐标为（3，）；Rt△ABC的直角边BC在x轴上，直角顶点C的坐标为（，0），且BC=5，AC=3（如图1）．

图1                             图2
（1）求出该抛物线的解析式；
（2）将Rt△ABC沿x轴向右平移，当点A落在（1）中所求抛物线上时Rt△ABC停止移动．D（0，4）为y轴上一点，设点B的横坐标为m，△DAB的面积为s．
①分别求出点B位于原点左侧、右侧（含原点O）时，s与m之间的函数关系式，并写出相应自变量m的取值范围（可在图1、图2中画出探求）；
②当点B位于原点左侧时，是否存在实数m，使得△DAB为直角三角形?若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）y=x²﹣3x；
（2）①当点B位于原点左侧时，S=m+10．（﹣4.5≤m＜0），
当点B位于原点右侧（含原点O）时，S=m+10．（0≤m＜﹣2），
②存在，m₁=﹣1，m₂=﹣4，m₃=﹣4.4．

试题分析：（1）根据抛物线顶点坐标为（3，﹣），利用顶点式求出即可；
（2）根据当点B位于原点左侧时以及当点B位于原点右侧（含原点O）时，分别分析即可得出答案．
试题解析：（1）由题意，设所求抛物线为y=a（x﹣3）²﹣．①
将点（0，0）代入①，得a=．
∴y=x²﹣3x；
（2）①当点B位于原点左侧时，如图（1）：
S=S_△OBD+S_梯形OCAD﹣S_△ABC=•4•（﹣m）+（4+3）（5+m）﹣=m+10．
∴S=m+10．（﹣4.5≤m＜0），
当点B位于原点右侧（含原点O）时，如图（2）：
S=S_梯形OCAD﹣S_△OBD﹣S_△ABC=（4+3）（5+m）﹣•4•m﹣=m+10．
∴S=m+10．（0≤m＜﹣2）；
②m₁=﹣1，m₂=﹣4，m₃=﹣4.4．