Question

6．“数学迷”小明在公园游玩，研究了两座“假山”，编出下面两道题，请你来解答：
（1）如图甲，在△ABC中，∠C=45°，D是边BC上一点，AB=17，AD=10，BD=9，求CD的长；
（2）如图乙，在△ABC中，∠ABC=90°，D是边BC上一点，∠DAC=45°，AB=3，CD=5，求BD的长．

Answer 1

分析 （1）如图甲，过点A作AE⊥CD于点E，利用勾股定理得出AD²=AE²+DE²，AB²=AE²+BE²，进而求出DE的长，即可得出答案．
（2）作DE⊥AC于E．设AE=DE=x，则AD=$\sqrt{2}$x，EC=$\sqrt{25-{x}^{2}}$，由sin∠C=$\frac{DE}{CD}$=$\frac{AB}{AC}$，可得$\frac{x}{\sqrt{25-{x}^{2}}}$=$\frac{3}{x+\sqrt{25-{x}^{2}}}$，解得x²=5或$\frac{45}{2}$（舍弃），推出x=$\sqrt{5}$，AD=$\sqrt{10}$，在Rt△ABD中，根据BD=$\sqrt{A{D}^{2}-A{B}^{2}}$，即可解决问题．

解答 解：（1）如图甲，过点A作AE⊥CD于点E，
在Rt△ADE和Rt△ABE中
AD²=AE²+DC²，AB²=AE²+BE²，
设AE=x，DE=y，
故100=x²+y²，17²=x²+（y+9）²，
解得：y=6，
故AE=x=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8．
又∵∠C=45°，
∴EC=AE=8，
∴CD=DE+CE=6+8=14；

（2）作DE⊥AC于E．
∵∠DAE=45°，
∴AE=DE，
设AE=DE=x，则AD=$\sqrt{2}$x，EC=$\sqrt{25-{x}^{2}}$，
∵sin∠C=$\frac{DE}{CD}$=$\frac{AB}{AC}$，
∴$\frac{x}{\sqrt{25-{x}^{2}}}$=$\frac{3}{x+\sqrt{25-{x}^{2}}}$，
解得x²=5或$\frac{45}{2}$（舍弃），
∵x＞0，
∴x=$\sqrt{5}$，
∴AD=$\sqrt{10}$，
在Rt△ABD中，BD=$\sqrt{A{D}^{2}-A{B}^{2}}$=$\sqrt{10-9}$=1．

点评 此题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是学会利用参数构建方程组或方程解决问题，属于中考常考题型．