Question

23、（试比较2006²⁰⁰⁷与2007²⁰⁰⁶的大小．为了解决这个问题，写出它的一般形式，即比较nⁿ⁺¹和（n+1）ⁿ的大小（为正整数），从分析n=1、2、3、…这些简单问题入手，从中发现规律，经过归纳、猜想出结论：
（1）在横线上填写“＜”、“＞”、“=”号：
1²

＜

2¹，2³

＜

3²，3⁴

＞

4³，4⁵

＞

5⁴，5⁶

＞

6⁵，…
（2）从上面的结果经过归纳，可以猜想出nⁿ⁺¹和（n+1）ⁿ的大小关系是

当n≤2时，nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ
当n＞2时，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ

；
（3）根据上面猜想得出的结论试比较下列两个数的大小：2006²⁰⁰⁷

＞

2007²⁰⁰⁶．

Answer 1

分析：此题中的规律为当n≤2时，nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ；当n＞2时，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ．

解答：解：（1）1²＜2¹，2³＜3²，3⁴＞4³，4⁵＞5⁴，5⁶＞6⁵，…

（2）当n≤2时，nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ；
当n＞2时，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ；

（3）2006²⁰⁰⁷＞2007²⁰⁰⁶．

点评：本题是一道找规律的题目，要求学生的通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．解决本题的难点在于找到“＜”、“＞”的临界点．