Question

把两块全等的直角三角形ABC和DEF叠放在一起，使三角板DEF的锐角顶点D与三角板ABC的斜边中点O重合，其中∠ABC=∠DEF=90°，∠C=∠F=45°，AB=DE=4，把三角板ABC固定不动，让三角板DEF绕点O旋转，设射线DE与射线AB相交于点P，射线DF与线段BC相交于点Q．
（1）如图1，当射线DF经过点B，即点Q与点B重合时，易证△APD∽△CDQ．此时AP•CQ的值为______．将三角板DEF由图1所示的位置绕点O沿逆时针方向旋转，设旋转角为α．其中0°＜α＜90°，则AP•CQ的值是否会改变？
答：______．（填“会”或“不会”）此时AP•CQ的值为______．（不必说明理由）
（2）在（1）的条件下，设CQ=x，两块三角板重叠面积为y，求y与x的函数关系式．（图2、图3供解题用）
（3）在（1）的条件下，PQ能否与AC平行？若能，求出y的值；若不能，试说明理由．

Answer 1

解：（1）8，不会，8；
∵∠A=∠C=45°，∠APD=∠QDC=90°，
∴△APD∽△CDQ．
∴AP：CD=AD：CQ．
∴即AP×CQ=AD×CD，
∵AB=BC=4，
∴斜边中点为O，
∴AP=PD=2，
∴AP×CQ=2×4=8；
将三角板DEF由图1所示的位置绕点O沿逆时针方向旋转，设旋转角为α．
∵在△APD与△CDQ中，∠A=∠C=45°，
∠APD=180°-45°-（45°+a）=90°-a，
∠CDQ=90°-a，
∴∠APD=∠CDQ．
∴△APD∽△CDQ．
∴=，
∴AP•CQ=AD•CD=AD²=（AC）²=8．

（2）当0°＜α≤45°时，如图2，过点D作DM⊥AB于M，DN⊥BC于N，
∵O是斜边的中点，
∴DM=DN=2，
∵CQ=x，则AP=，
∴S_△APD=••2=，S_△DQC=x×2=x，
∴y=8--x（2≤x＜4），
当45°＜α＜90°时，如图3，过点D作DG⊥BC于G，DG=2
∵CQ=x，
∴AP=，
∴BP=-4
∵=，
即=，MG=…
∴MQ=+（2-x）=
∴y=（0＜x＜2）；

（3）在图（2）的情况下，
∵PQ∥AC时，BP=BQ，
∴AP=QC
∴x=，解得x=2，
∴当x=2时，y=8--2=8-4．
分析：（1）根据等腰直角三角形的性质可知∠A=∠C=45°，∠APD=∠QDC=90°，故可得出△APD∽△CDQ，由相似三角形的对应边成比例即可求出AP•CQ的值，当将三角板DEF由图1所示的位置绕点O沿逆时针方向旋转，设旋转角为α，同理可得△APD∽△CDQ，故可得出结论；
（2）由于三角板DEF的旋转角度不能确定，故应分0°＜α≤45°与45°＜α＜90°时两种情况进行讨论，①当0°＜α≤45°时，过点D作DM⊥AB于M，DN⊥BC于N，则DM=DN=2，由于CQ=x，则AP=，再用x表示出△APD及△DQC的面积即可；②当45°＜α＜90°时，过点D作DG⊥BC于G，DG=2，用x表示出AP及BP的值，再根据=即可求出MG及MQ的值，进而可得出结论；
（3）在图（2）的情况下，根据PQ∥AC时，BP=BQ，即可求出x的值，进而得出结论．
点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质及图形旋转的性质，三角形的面积公式，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．