Question

如图，△ABC中，AB=5，BC=11，tanB=

4

3

，点D在BC上，∠ADE=90°，∠DAE=∠ACB，ED=EC，AE的长为

 

．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,勾股定理,解直角三角形

专题：

分析：要解答本题，需做AM⊥BC，EN⊥BC，垂足分别为：M，N，tan∠DAE=tan∠ACB可以得到AM与CM的比值，再借用三角形相似求得线段MD，DC的值，根据勾股定理可以求得AE的长度．

解答：解：作AM⊥BC，EN⊥BC，垂足分别为：M，N．
又∵AB=5，BC=11，tanB=

4

3

，
∴AM=4，BM=3，
∴CM=11-3=8，
∵∠DAE=∠ACB，
∴tan∠DAE=tan∠ACB=

AM

CM

=

4

8

=

1

2

，
又因为∠ADE=90°，
所以△AMD∽△DNE，

EN

AM

=

ED

AD

=

DN

DM

=

1

2

，
又∵ED=EC，EN⊥BC，
∴MD=DC=4，
由勾股定理得：
AD=4

2

，ED=2

2

，
∴AE=

AD2+ED2

=

32+8

=2

10

，
故答案为：2

10

．

点评：本题考查了三角形相似，三角函数以及勾股定理的综合应用，解答本题的关键学会作辅助线，构造相似三角形．