Question

（2002•重庆）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，弧AB+弧CD=弧AD+弧BC，若AD=4，BC=6，则四边形ABCD的面积为    ．

Answer 1

【答案】分析：此题实质是求等腰梯形ABCD的面积，已知上下底的长，需求出梯形的高．
作OE⊥AD于E，反向延长交BC于点F，则OF⊥BC，那么EF就是所求的梯形的高；
连接OA、OB、OC、OD，通过证△AOE≌△OBF，可求得OE、OF的长，即可求出梯形的高；
由此可根据梯形的面积公式求出四边形ABCD的面积．
解答：解：连接OA、OB、OC、OD，作OE⊥AD于E，反向延长交BC于点F，
∵AD∥BC，
∴OF⊥BC，
等腰△AOD和等腰△BOC中：OE⊥AD，OF⊥BC，
因此∠AOE=∠AOD，∠BOF=∠BOC；AE=2，BF=3，
∵弧AB+弧CD=弧AD+弧BC，
∴∠AOE+∠BOF=90°，
又∵∠AOE+∠OAE=90°，
∴∠OAE=∠BOF，
又∵OA=OB，∠AEO=∠OFB，
∴△AOE≌△OBF，
∴OE=BF=3，OF=AE=2，
∴EF=5，
∴该梯形的面积=×10×5=25．
点评：本题综合考查了平行线的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及梯形的面积公式等知识，综合性强，难度稍大．