Question

13．如图：抛物线经过A（-3，0）、B（0，4）、C（4，0）三点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）已知AD=AB（D在线段AC上），有一动点P从点A沿线段AC以每秒1个单位长度的速度移动；同时另一动点Q以某一速度从点B沿线段BC移动，经过t秒的移动，线段PQ被BD垂直平分，求t的值；
（3）在（2）的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点M，使MQ+MC由最小值？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）已知抛物线图象上的三点坐标，可利用待定系数法求出该抛物线的解析式；
（2）根据A、B的坐标，易求得AD=AB=5，则CD=AC-AD=2，连接DQ，由于BD垂直平分PQ，那么DP=DQ，根据等腰三角形三线合一的性质知：∠PDB=∠QDB=∠ABD，即AB∥DQ，此时△CDQ∽△CAB，利用相似三角形得到的比例线段即可求得DQ、PD的长，从而求得AP的值，进而可求得t的值．
（3）如图2，根据轴对称的最短路径先作C关于对称轴的对称点，即点A，连接AQ与对称轴的交点就是所求的M，先求Q的坐标，求直线AQ的解析式，因为对称轴是：x=$\frac{1}{2}$，即M的横坐标就是$\frac{1}{2}$，代入AQ的解析式求y即可．

解答 解：（1）∵抛物线经过A（-3，0）、B（0，4）、C（4，0）三点．
∴设抛物线的解析式为：y=a（x+3）（x-4），
把B（0，4）代入得：4=-12a，a=-$\frac{1}{3}$，
∴抛物线的解析式为：y=-$\frac{1}{3}$（x+3）（x-4）=-$\frac{1}{3}{x}^{2}$+$\frac{1}{3}x$+4；
（2）易知OA=3，OB=OC=4，
则AB=5，AC=7，CD=2；
如图1，连接DQ，由于BD垂直平分PQ，则DP=DQ，得：
∠PDB=∠QDB，
而AD=AB，得：∠ABD=∠ADB，
故∠QDB=∠ABD，
得QD∥AB；
∴△CDQ∽△CAB，则有：$\frac{CD}{AC}$=$\frac{DQ}{AB}$=$\frac{2}{7}$，
∴$\frac{DQ}{5}=\frac{2}{7}$
∴PD=DQ=$\frac{10}{7}$，AP=AD-PD=5-$\frac{10}{7}$=$\frac{25}{7}$，
故t=$\frac{25}{7}$；
（3）存在，
如图2，连接AQ交对称轴于M，此时MQ+MC为最小，
过Q作QN⊥x轴于N，
∵DQ∥AB，
∴∠QDN=∠BAC，
sin∠QDN=sin∠BAC=$\frac{OB}{AB}=\frac{QN}{DQ}$，
∴$\frac{4}{5}=\frac{QN}{\frac{10}{7}}$，
∴QN=$\frac{8}{7}$，
设直线BC的解析式为：y=kx+b，
把B（0，4）和C（4，0）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{b=4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为：y=-x+4，
当y=$\frac{8}{7}$时，$\frac{8}{7}$=-x+4，
x=$\frac{20}{7}$，
∴Q（$\frac{20}{7}$，$\frac{8}{7}$），
同理可得：AQ的解析式为：y=$\frac{8}{41}$x+$\frac{24}{41}$，
当x=$\frac{1}{2}$时，y=$\frac{8}{41}×\frac{1}{2}$+$\frac{24}{41}$=$\frac{28}{41}$，
∴M（$\frac{1}{2}$，$\frac{28}{41}$）．

点评 此题主要考查了二次函数和一次函数解析式的确定、轴对称的最短路径问题、线段垂直平分线的性质、相似三角形的判定和性质、三角函数等重要知识，难度适中．