Question

22、如图所示，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速运动，其中点P运动的速度是1m/s，点Q运动的速度是2m/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t s，解答下列问题：
（1）当点Q到达点C时，PQ与AB的位置关系如何？请说明理由．
（2）在点P与点Q的运动过程中，△BPQ是否能成为等边三角形？若能，请求出t，若不能，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）当出发后两秒时，AP=2×1=2，所以BP=4，BQ=2×2=4，又三角形ABC是等边三角形，∠B=60°，所以△BPQ是等边三角形，∠BPQ=∠A=60°，所以PQ∥AC．
（2）过Q作QH⊥AB，因为∠B=60°，所以∠BQH=30°，又BQ=2t，所以BH=t，由勾股定理，得QH=3t，所以得面积S为 32t（6-t）．

解答：解：（1）当点Q到达点C时，PQ与AB垂直，即△BPQ为直角三角形． 理由是：
∵AB=AC=BC=6cm，∴当点Q到达点C时，BP=3cm，
∴点P为AB的中点．
∴QP⊥BA（等边三角形三线合一的性质）．

（2）假设在点P与点Q的运动过程中，△BPQ能成为等边三角形，
∴BP=PQ=BQ，
∴6-t=2t，
解得t=2．
∴当t=2时，△BPQ是个等边三角形．

点评：本题是一个综合性很强的题目，主要考查等边三角形的性质，动点的问题，同学们要认真作答．