Question

设直线y=-0.5x+1与x轴、y轴分别交于点B、A，点C与点B关于y轴对称，以AC为直角边在第二象限作等腰Rt△ACD，过点D作DE⊥x轴于点E．若直线y=kx-2k将四边形OADE分为面积相等的两部分，则k=    ．

Answer 1

【答案】分析：先确定A点坐标为（0，1），B点坐标为（2，0），点C的坐标为（-2，0），讨论：当AC为直角边，且∠DCA=90°时，根据等腰直角三角形的性质得CD=CA，∠DCA=90°，
，利用“AAS”可证明△ECD≌△OAC，则DE=OC=2，EC=OA=1，所以D点坐标（-3，2），然后确定OA的中点M的坐标，DE的中点N的坐标，MN的中点P的坐标，再P点坐标代入y=kx-2k得求出k的值；当AC为直角边，且∠CAD=90°时，如图2，作DF⊥y轴于F，同样的方法可确定D点坐标（-1，3），然后利用上述方法求对应k的值．
解答：解：把x=0代入y=-0.5x+1得y=1，把y=0代入y=-0.5x+1得-0.5x+1=0，解得x=2，则A点坐标为（0，1），B点坐标为（2，0）
∵点C与点B关于y轴对称，
∴点C的坐标为（-2，0），
当AC为直角边，且∠DCA=90°时，如图1，
M为OA的中点，N为DE的中点，P为MN的中点，则M（0，）
∵△ACD为等腰直角三角形，
∴CD=CA，∠DCA=90°，
∴∠ECD+∠ACO=90°，
∵DE⊥x轴于点E，
∴∠ECD+∠EDC=90°，
∴∠EDC=∠ACO，
∵在△ECD和△OAC中
，
∴△ECD≌△OAC（AAS），
∴DE=OC=2，EC=OA=1，
∴OE=1+2=3，
∴D点坐标（-3，2），
∴N点坐标（-3，1），
∴P点坐标为（-，），
把P（-，）代入y=kx-2k得-k-2k=，解得k=-；
当AC为直角边，且∠CAD=90°时，如图2，作DF⊥y轴于F，同理可证得△FAD≌△OCA，
∴DF=OA=1，AF=OC=2，
∴OF=3，
∴D点坐标（-1，3），
∴N点坐标（-1，），
∴P点坐标为（-，），
把P（-，）代入y=kx-2k得-k-2k=，解得k=-；
∴k的值为-或-．
故答案为-或-．
点评：本题考查了一次函数的综合题：一次函数图象上点的坐标满足其解析式，会确定一次函数与坐标轴的交点坐标；同时运用三角形全等的知识解决线段相等的问题；理解直角梯形的重心的意义．