Question

5．水平桌面上有甲、乙、丙三个柱形容器（容器足够高），底面半径之比为1：2：1，用两个相同的管子在容器的5cm高处连通（即管子底距离容器底5cm）．三个容器中，只有甲中有水，水位高1cm，如图所示，以相同的速度向乙和丙注水，1分钟后，乙的水位上升$\frac{5}{6}$cm．问：几分钟后，甲与乙的水位高之差是0.5cm？

Answer 1

分析 先计算出经过$\frac{10}{3}$分钟，水开始向甲容器流入，然后分三种情况：①当乙的水位低于甲的水位时，②当甲的水位低于乙的水位时，且甲的水位不变时，③当甲的水位低于乙的水位，但乙的水位已达到或超过管子的底部，使甲的水位上升时，讨论计算即可．

解答 解：底面半径之比为1：2：1，且两个相同的管子在容器的5cm高处连通，
∴经过（5+5）÷（2+1）=$\frac{10}{3}$，
①当乙的水位低于甲的水位时，
根据题意得，
∴t=$\frac{3}{5}$，
②当甲的水位低于乙的水位时，且甲的水位不变时，
根据题意得，$\frac{5}{6}t-1=0.5$，
∴t=$\frac{9}{5}$，
但$\frac{10}{3}×\frac{9}{5}$=6＞5，
说明此时丙容器已向乙容器溢水了，
∵5+$\frac{10}{3}$=$\frac{3}{2}$（min），
而$\frac{5}{6}×\frac{3}{2}=\frac{5}{4}$（cm），
即经过$\frac{3}{2}$（min）丙容器的水位达到了管子底部，此时乙的水位上升了$\frac{5}{4}$（cm），当甲的水位暂时不变，
∴$\frac{5}{4}+2×\frac{5}{6}（t-\frac{3}{2}）-1=0.5$，
∴t=$\frac{33}{20}$（min）
③当甲的水位低于乙的水位，但乙的水位已达到或超过管子的底部，使甲的水位上升时，
因为乙的水位到达管子底部的时间为
$\frac{3}{2}+（5-\frac{5}{4}）÷\frac{5}{6}÷2=\frac{15}{4}$（min），
∴5-1-2×$\frac{10}{3}（t-\frac{15}{4}）=0.5$，
∴t=$\frac{171}{40}$（min），
综上所述，$\frac{3}{5}$min，$\frac{33}{20}$min，$\frac{171}{40}$后，甲与乙的水位高度之差为0.5cm．

点评 此题是应用类问题，主要考查了应用题的解题步骤，解本题的关键是读懂题意，难点是分类讨论．