Question

已知x和y是正整数，并且满足条件xy+x+y=71，x²y+xy²=880，求x²+y²的值．

Answer 1

解：∵xy+x+y=71，x²y+xy²=880，
∴xy（x+y）=880，xy+（x+y）=71，
∴x+y、xy可以看做一元二次方程t²-71t+880=0的两个解，
解得t=55或16，
∴x+y=55、xy=16（此时不能满足x、y是正整数，舍去）或x+y=16、xy=55，
当x+y=16、xy=55时，x²+y²=（x+y）²-2xy=16²-2×55=146．
故x²+y²的值为146．
分析：将xy+x+y=71，x²y+xy²=880稍作变化，变为xy+（x+y）=71，xy（x+y）=880．此时x+y、xy可以看做一元二次方程t²-71t+880=0的两个解．解出该方程的解即为x+y，xy的值．再将x+y，xy代入x²+y²=（x+y）²-2xy求值即可．
点评：本题考查因式分解的应用、一元二次方程，难度较大，解决本题的关键是将x+y、xy可以看做一元二次方程t²-71t+880=0的两个解，解出t即可知x+y、xy的值．