Question

已知：如图，△ABC中，AB=AC=5，BC=6，以AB为直径作⊙O交AC于点D，交BC于点E，EF⊥AC于F交AB的延长线于G．
（1）求证：FG是⊙O的切线；
（2）求AD的长．

Answer 1

分析：（1）连接OE．欲证明FG是⊙O的切线，只需证明OE⊥FG即可；
（2）由（1）得出OE∥AC，则点E为BC的中点，再由割线定理得出CD的长，即可求出AD．

解答：（1）证明：连接OE．

∵OE=OB（⊙O的半径），
∴∠ABE=∠OEB（等边对等角）；
∵AB=AC（已知），
∴∠ABE=∠ACB=∠OEB（等量代换），∠BEG=∠FEC（对顶角相等），
∵EF⊥AC（已知），
∴∠FEC+∠ACB=90°，∠OEB+∠BEG=90°=∠OEG，
∴OE⊥FG，即FG是切线；

（2）解：∵OE⊥FG，EF⊥AC，
∴OE∥AC，
∵AB为⊙O的直径，
∴点E为BC的中点，
∵BC=6，
∴CE=3，
∵CD•CA=CE•CB，
∴5CD=3×6，
解得CD=

18

5

，
∴AD=AC-CD=5-

18

5

=

7

5

．

点评：本题考查了切线的判定和性质、等腰三角形的性质、勾股定理以及切割线定理，是基础知识要熟练掌握．