Question

如图，△ABC的内切圆分别切BC、CA、AB于点D、E、F，过点F作BC的平行线分别交直线DA、DE于点H、G．问：图中除由切线长定理可知AF=AE，BF=BD，CD=CE外，还有相等的线段吗？若有，请指出来，并加以证明．

Answer 1

解：有相等的线段：HG=HF
过点A作FG的平行线分别交DF、DG的延长线于点M、N
则∠AMF=∠BDF
由切线长定理知BF=BD、AF=AE．
所以∠BDF=∠BFD，
又∵∠BFD=∠AFM，
∴∠AMF=∠AFM，
∴AM=AF，
同理：AN=AE，
∴AM=AN，
又FG∥MN，
∴△DFH∽△DMA，
，
同理：，
∴，
∴HG=HF．
分析：首先过点A作FG的平行线分别交DF、DG的延长线于点M、N，得出AM=AN，再利用三角形相似得出对应边的关系，从而得出相等的线段．
点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质，以及切线长定理和三角形的内心等知识，作平行线构造相似三角形是几何问题中一个常用方法，应注意有意识的应用．