Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=AC，AE是∠BAC的平分线，∠ABC的平分线BM交AE于点M，点O在AB上，以点O为圆心，OB的长为半径的圆经过点M，交BC于点G，交AB于点F．

（1）求证：AE为⊙O的切线．

（2）当BC=8，AC=12时，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）⊙O的半径为3．

【解析】

（1）连接OM，如图，由等腰三角形三线合一的性质可得AE⊥BC，由角平分线的定义和等腰三角形的性质可得∠OMB=∠CBM，从而可得OM∥BC，进一步即可推出AE⊥OM，进而可得结论；

（2）先由等腰三角形的性质求出BE的长，设⊙O的半径为R，易证△OMA∽△BEA，然后根据相似三角形的性质即可得到关于R的方程，解方程即得结果．

（1）证明：连接OM，如图，

∵AC=AB，AE平分∠BAC，

∴AE⊥BC，

∵OB=OM，

∴∠OBM=∠OMB，

∵BM平分∠ABC，

∴∠OBM=∠CBM，

∴∠OMB=∠CBM，

∴OM∥BC，

又∵AE⊥BC，

∴AE⊥OM，

∴AE是⊙O的切线；

（2）解：设⊙O的半径为R，

∵BC=8，

∴BE=BC=4，

∵OM∥BE，

∴△OMA∽△BEA，

∴，即，

解得：R=3，

∴⊙O的半径为3．