Question

【题目】如图，在四边形OABC是边长为4的正方形，点P为OA边上任意一点（与点O、A不重合），连接CP，过点P作PM⊥CP交AB于点D，且PM=CP，过点M作MN∥AO，交BO于点N，连结ND、BM，设OP=t．

（1）求点M的坐标（用含t的代数式表示）；

（2）试判断线段MN的长度是否随点P的位置的变化而改变？并说明理由．

（3）当t为何值时，四边形BNDM的面积最小；

（4）在x轴正半轴上存在点Q，使得△QMN是等腰三角形，请直接写出不少于4个符合条件的点Q的坐标（用含t的式子表示）．

Answer 1

【答案】（1）M（4+t，t）；（2）线段MN长度不变；（3）当t=2时，四边形BNDM的面积最小，最小值6；（4）Q1（t+2，0），Q2（4+t﹣，0），Q3（4+t+，0）Q4（t+，0）．

【解析】

试题分析：（1）作ME⊥OA于点E，要求点M的坐标只要证明△OPC≌△EM即可，根据题目中的条件可证明两个三角形全等，从而可以得到点M的坐标；

（2）首先判断是否变化，然后针对判断结合题目中的条件说明理由即可解答本题；

（3）要求t为何值时，四边形BNDM的面积最小，只要用含t的代数式表示出四边形的面积，然后化为顶点式即可解答本题；

（4）首先写出符合要求的点Q的坐标，然后根据写出的点的坐标写出推导过程即可解答本题．

试题解析：（1）如图1所示，作ME⊥OA于点E，∴∠MEP=∠POC=90°，∵PM⊥CP，∴∠CPM=90°，∴∠OPC+∠MPE=90°，又∵∠OPC+∠PCO=90°，∴∠MPE=∠PCO，∵PM=CP，∴△MPE≌△PCO（AAS），∴PE=CO=4，ME=PO=t，∴OE=4+t，∴点M的坐标为（4+t，t）；

（2）线段MN长度不变，理由：∵OA=AB=4，∴点B（4，4），∴直线OB的解析式为：y=x，∵点N在直线OB上，∴点N（t，t），∵MN∥OA，M（4+t，t），∴MN=|（4+t）﹣t|=4，即MN的长度不变；

（3）由（1）知，∠MPE=∠PCO，又∵∠DAP=∠POC=90°，∴△DAP∽△POC，∴，∵OP=t，OC=4，∴AP=4﹣t，∴，得AD=，∴BD=4﹣=，∵MN∥OA，AB⊥OA，∴MN⊥BD，∵=MNBD=×4×=，∴当t=2时，四边形BNDM的面积最小，最小值6；

（4）在x轴正半轴上存在点Q，使得△QMN是等腰三角形，此时点Q的坐标为：Q1（t+2，0），Q2（4+t﹣，0），Q3（4+t+，0）Q4（t+，0）．理由：

当（2）可知，OP=t（0＜t＜4），MN=PE=4，MN∥x轴，第一种情况：当MN为底边时，作MN的垂直平分线，与x轴的交点为Q1，如图2所示，PQ1=PE=MN=2，∴OQ1=t+2，∴Q1（t+2，0）；

第二种情况：如图3所示，当MN为腰时，以M为圆心，MN的长为半径画弧交x轴于点Q2、Q3，连接MQ2、MQ3，则MQ2=MQ3=4，∴Q2E==，∴OQ2=OE﹣Q2E=4+t﹣，∴Q2（4+t﹣，0），∵OQ3=OE+Q3E=4+t+，∴Q3（4+t+，0）；

第三种情况，当MN为腰时，以N为圆心，MN长为半径画圆弧交x轴于点Q4，当0＜t＜时，如图4所示，则PQ4===，∴OQ4=OP+PQ4=t+，即Q4（t+，0）．