【题目】(1)如图①,OP是∠MON的平分线,点A为OP上一点,请你作一个∠BAC,B、C分别在OM、ON上,且使AO平分∠BAC(保留作图痕迹);
(2)如图②,在△ABC中,∠ACB是直角,∠B=60°,△ABC的平分线AD,CE相交于点F,请你判断FE与FD之间的数量关系(可类比(1)中的方法);
(3)如图③,在△ABC中,如果∠ACB≠90°,而(2)中的其他条件不变,请问(2)中所得的结论是否仍然成立?若成立,请证明,若不成立,说明理由.
【答案】(1)详见解析;(2)FE=FD,证明详见解析;(3)成立,证明详见解析.
【解析】
(1)在射线OM,ON上分别截取OB=OC,连接AB,AC,则AO平分∠BAC;
(2)过点F作FG⊥AB于G,作FH⊥BC于H,作FK⊥AC于K,根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得FG=FH=FK,根据四边形的内角和定理求出∠GFH=120°,再根据三角形的内角和定理求出∠AFC=120°,根据对顶角相等求出∠EFD=120°,然后求出∠EFG=∠DFH,再利用“角角边”证明△EFG和△DFH全等,根据全等三角形对应边相等可得FE=FD;
(3)过点F分别作FG⊥AB于点G,FH⊥BC于点H,首先证明∠GEF=∠HDF,再证明△EGF≌△DHF可得FE=FD.
解:(1)如图①所示,∠BAC即为所求;
(2)如图②,过点F作FG⊥AB于G,作FH⊥BC于H,作FK⊥AC于K,
∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线,
∴FG=FH=FK,
在四边形BGFH中,∠GFH=360°﹣60°﹣90°×2=120°,
∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线,∠B=60°,
∴∠FAC+∠FCA=(180°﹣60°)=60°,
在△AFC中,∠AFC=180°﹣(∠FAC+∠FCA)=180°﹣60°=120°,
∴∠EFD=∠AFC=120°,
∴∠EFD=∠GFH
∴∠EFG=∠DFH,
在△EFG和△DFH中,
,
∴△EFG≌△DFH(ASA),
∴FE=FD;
(3)成立,
理由:如图c,过点F分别作FG⊥AB于点G,FH⊥BC于点H.
∴∠FGE=∠FHD=90°,
∵∠B=60°,且AD,CE分别是∠BAC,∠BCA的平分线,
∴∠FAC+∠FCA=60°,F是△ABC的内心,
∴∠GEF=∠BAC+∠FCA=60°+∠BAD,
∵F是△ABC的内心,即F在∠ABC的角平分线上,
∴FG=FH(角平分线上的点到角的两边相等).
又∵∠HDF=∠B+∠BAD=60°+∠BAD(外角的性质),
∴∠GEF=∠HDF.
在△EGF与△DHF中,
,
∴△EGF≌△DHF(AAS),
∴FE=FD.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在△ABC中,AB=6,AC=10,AD是BC边上的中线,且AD=4,延长AD到点E,使DE=AD,连接CE.
(1)求证:△AEC是直角三角形.
(2)求BC边的长.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在△ABC中,D是边AC上一点,连BD,给出下列条件:①∠ABD=∠ACB;②AB2=ADAC;③ADBC=ABBD;④ABBC=ACBD.其中单独能够判定△ABC∽△ADB的个数是( )
A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在正方形ABCD中,点O为对角线AC的中点,过O点的射线OM,ON分别交AB,BC于点E,F,且∠EOF=90°,BO,EF交于点P,则下面结论:
①图形中全等的三角形只有三对;②△EOF是等腰直角三角形;③正方形ABCD的面积等于四边形OEBF面积的4倍;④BE+BF=OA.
其中正确结论的个数是( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD交于点O.过点C作BD的平行线,过点D作AC的平行线,两直线相交于点E.
(1)求证:四边形OCED是矩形;
(2)若CE=1,DE=2,ABCD的面积是 .
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,直线y=x+b与双曲线y=(k是常数,k≠0)在第一象限内交于点A(1,2),且与x轴、y轴分别交于B,C两点.点P在x轴.
(1)求直线和双曲线的解析式;
(2)若△BCP的面积等于2,求P点的坐标;
(3)求PA+PC的最短距离.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,某中学准备在校园里利用院墙的一段再围三面篱笆,形成一个矩形花园ABC(院墙 MN 长 25 米).现有 50米长的篱笆,请你设计一种围法(篱笆必须用完),使矩形花园的面积为300米 2.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com