Question

11．如图，矩形ABCD在平面直角坐标系的第一象限内，BC∥x轴，AB=1，BC=2，点B的坐标为（2，1），抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点总是在矩形ABCD内部（包括边界），且与x轴的两个交点分别是点M（x₁，0）、N（x₂、0），其中-2≤x₁≤-1，下列说法：①abc＜0；②2a+b≤0；③当k＜1时，方程ax²+bx+c-k=0总有两个不相等的实数根；④a的取值范围是-$\frac{2}{9}≤a≤-\frac{1}{36}$；其中正确的是①③④．

Answer 1

分析 由抛物线的开口向下得到a＜0，顶点坐标在第一象限得到b＞0，抛物线与y轴的交点在y轴的上方推出c＞0，由此即可判定abc的符号．由对称轴x=-$\frac{b}{2a}$＞1，得到2a+b＞0，由抛物线与直线y=k的交点情况得出方程ax²+bx+c-k=0总有两个不相等的实数根，顶点在矩形ABCD内部（包括边界），当顶点与A点重合，可以知道顶点坐标为（2，2）；当顶点与C点重合，顶点坐标为（3，1），根据与x轴的两个交点分别是点M（x₁，0）、N（x₂、0），其中-2≤x₁≤-1，列出不等式组，解不等式组可求a的取值，然后由此可判断a的取值范围．

解答 解：观察图形发现，抛物线的开口向下，
∴a＜0，
∵顶点坐标在第一象限，
∴-$\frac{b}{2a}$＞0，
∴b＞0，
而抛物线与y轴的交点在y轴的上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，故①正确；
∵点B的坐标为（2，1），BC=2，
∴C（4，1），
∵抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点总是在矩形ABCD内部（包括边界），
∴x=-$\frac{b}{2a}$＞2，
∴-$\frac{b}{2a}$＞1，
∵a＜0，
∴-b＜2a，
∴2a+b＞0，故②错误；
由题意可知，抛物线与直线y=k（k＜1）有两个交点，
∴当k＜1时，方程ax²+bx+c-k=0总有两个不相等的实数根；故③正确；
∵顶点在矩形ABCD内部（包括边界），
当顶点与A点重合，顶点坐标为（2，2），则抛物线解析式y=a（x-2）²+2，
由$\left\{\begin{array}{l}{a（-2-2）^{2}+2≤0}\\{a（-1-2）^{2}+2≥0}\end{array}\right.$，解得-$\frac{2}{9}$≤a≤-$\frac{1}{8}$；
当顶点与C点重合，顶点坐标为（4，1），则抛物线解析式y=a（x-4）²+1，
由$\left\{\begin{array}{l}{a（-2-4）^{2}+1≤0}\\{a（-1-4）^{2}+1≥0}\end{array}\right.$，解得-$\frac{1}{25}$≤a≤-$\frac{1}{36}$；
∵顶点可以在矩形内部，
∴-$\frac{2}{9}$≤a≤-$\frac{1}{36}$；故④正确；
故答案为①③④．

点评 本题主要考查了抛物线的解析式y=ax²+bx+c中a、b、c对抛物线的影响，在对于抛物线的顶点在所给图形内进行运动的判定，充分利用了利用形数结合的方法，展开讨论，加以解决．