Question

如图，△ABC中，AB=4，AC=2，BC=2

3

，以BC为直径的半圆交AB于点D，以A为圆心，AC为半径的扇形交AB于点E．
（1）以BC为直径的圆与AC所在的直线有何位置关系？请说明理由；
（2）求图中阴影部分的面积（结果可保留根号和π）．

Answer 1

分析：（1）根据切线的判定定理，证明∠ACB=90°即可；
（2）根据S_阴影=S_半圆-（S_△ABC-S_扇形ACE），即可求解．

解答：解：（1）相切．（1分）
理由：∵2²+（2

3

）²=16=4²，
∴AC²+BC²=AB²．
∴∠ACB=90°．
∴以BC为直径的圆与AC所在的直线相切．（4分）

（2）∵Rt△ABC中，cosA=

AC

AB

=

1

2

．
∴∠A=60°．（5分）
∴S_阴影=S_半圆-（S_△ABC-S_扇形ACE）
=

1

2

π（

3

）²-（

1

2

×2×2

3

-

60

360

π×2²）=

13π

6

-2

3

．（8分）

点评：此题考查的是直线与圆的位置关系和扇形公式的求法，正确理解阴影部分的面积等于S_半圆-（S_△ABC-S_扇形ACE）是解题的关键．