Question

20．如图，正方形CDEF的顶点D，E在半圆O的直径上，顶点C，F在半圆上，连接AC，BC，则$\frac{BC}{AC}$=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$．

Answer 1

分析 首先设正方形CDEF的边长是a，应用勾股定理，求出半圆的半径是多少；然后应用圆周角定理并解直角三角形，求出$\frac{BC}{AC}$的值是多少即可．

解答 解：如图，连接CO，，
设正方形CDEF的边长是a，
则DO=$\frac{a}{2}$，
在Rt△CDO中，
CO=$\sqrt{{CD}^{2}{+DO}^{2}}$
=$\sqrt{{a}^{2}{+（\frac{a}{2}）}^{2}}$
=$\frac{\sqrt{5}}{2}$a
∴AO=CO=$\frac{\sqrt{5}}{2}$a，
∴AD=$\frac{\sqrt{5}}{2}$a-$\frac{a}{2}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$a，
∵∠ACB=90°，
∴$\frac{BC}{AC}$=tan∠BAC=$\frac{CD}{AD}$=$\frac{a}{\frac{\sqrt{5}-1}{2}a}$=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$．

点评 此题主要考查了正方形的性质和应用，以及圆周角定理的应用，要熟练掌握．