Question

15．如图所示，在直角坐标系中，点A是反比例函数y₁=$\frac{k}{x}$的图象上一点，AB⊥x轴的正半轴于B点，C是OB的中点；一次函数y₂=ax+b的图象经过A、C两点，并交y轴于点D（0，-2），若S_△AOD=4．
（1）写出点C的坐标；
（2）求反比例函数和一次函数的解析式；
（3）当y₁＜y₂时，求x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设点C的坐标为（m，0），通过证△COD≌△CBA可得出点A的坐标为（2m，2），根据三角形的面积公式结合S_△AOD=4即可求出m值，由此即可得出点C的坐标；
（2）由m的值可得出点A的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征即可得出反比例函数解析式，再根据点C、D的坐标利用待定系数法即可求出一次函数解析式；
（3）联立两函数解析式成方程组，通过解方程组可求出两函数图象的另一交点坐标，根据函数图象的上下位置关系即可得出结论．

解答 解：（1）设点C的坐标为（m，0），
∵C是OB的中点，
∴OC=BC．
在△COD和△CBA中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DCO=∠ACB}\\{OC=BC}\\{∠DOC=∠ABC=90°}\end{array}\right.$，
∴△COD≌△CBA（ASA），
∴OD=BA．
∵点D（0，-2），
∴点A的坐标为（2m，2）．
∴S_△AOD=S_△ABC+S_△DOC=2S_△DOC=2×$\frac{1}{2}$OC•OD=2m=4，
∴m=2，
∴点C的坐标为（2，0）．

（2）∵m=2，
∴点A的坐标为（4，2）．
∵点A在反比例函数y₁=$\frac{k}{x}$的图象上，
∴k=4×2=8，
∴反比例函数的解析式为y₁=$\frac{8}{x}$；
将C（2，0）、D（0，-2）代入y₂=ax+b中，
$\left\{\begin{array}{l}{0=2a+b}\\{-2=b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴一次函数的解析式为y=x-2．

（3）联立两函数解析式成方程组，
$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{8}{x}}\\{y=x-2}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=-4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=2}\end{array}\right.$，
∴两函数图象的另一个交点为（-2，-4）．
观察函数图象可知：当-2＜x＜0 或x＞4时，一次函数图象在反比例函数图象上方，
∴当y₁＜y₂时，x的取值范围为-2＜x＜0 或x＞4．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、三角形的面积以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）根据S_△AOD=4找出关于m的一元一次方程；（2）根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式；（3）联立两函数解析式成方程组，通过解方程组求出两函数图象的另一交点坐标．