Question

是否存在这样一个正整数当它加上100时，是一个完全平方数，当它加上127时，是另一个完全平方数？若存在请求出，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：完全平方数

专题：

分析：利用分解因式求不定方程的整数解，再求m的值，进而得出答案．

解答：解：假设存在这样的正整数m，由题意得：
m+100=x²①；m+127=y²②，
②-①得y²-x²=27．所以（y+x）（y-x）=27×1．
只有当x+y=27，y-x=1时，成立，即

x+y=27 y-x=1

，
解得：

y=14 x=13

，
所以m=x²-100=13²-100=169-100=69，
故存在正整数69，当它加上100时是一个完全平方数，当它加上127时是另一个完全平方数．

点评：此题主要考查了运用公式法因式分解以及二元一次方程组的解法，得出x+y=27，y-x=1是解题关键．