Question

如图，Rt△ABC中，∠C=Rt∠，AC=10，BC=20，正方形DEFG顶点G，F分别在AC，BC边上，D，E在边AB上，且JE∥GH∥BC，IF∥DK∥AC，则四边形HIJK的面积为

 

．

Answer 1

分析：可证出△ABC∽△FBE∽△DJE，则

EF

BE

=

DJ

EJ

=

1

2

，设正方形DEFG的边长为x，则BF=

5

x，再根据△CGF∽△CAB，则

GF

AB

=

CF

BC

，从而求出x的值，根据相似，得I、J、K、H分别为EJ、DK、GH、FI的中点，即可求得四边形HIJK的边长，从而得出面积．

解答：解：∵∠C=90°，AC=10，BC=20，
∴AB=10

5

，
∵JE∥GH∥BC，IF∥DK∥AC，
∴△ABC∽△FBE∽△DEJ，
∴AC：BC=EF：BE=DJ：JE=1：2，
设正方形DEFG的边长为x，则BF=

5

x，
∴CF=20-

5

x，
∵△CGF∽△CAB，则

GF

AB

=

CF

BC

，
∴

x

10 5

=

20- 5 x

20

，
∴x=

20 5

7

，
∵

DJ

EJ

=

1

2

，
∴EJ=2DJ，
∴IJ=

1

2

EJ，
∵DE=

20 5

7

，
∴IJ=

20

7

，
∴S_{四边形HIJK}=

400

49

．
故答案为：

400

49

．

点评：本题是一道综合性的题目，考查了相似三角形的判定和性质以及正方形的性质，是中考压轴题，难度较大．