Question

【题目】问题提出：

（1）如图①，已知线段AB和BC，AB＝2，BC＝5，则线段AC的最小值为　 　；

问题探究

（2）如图②，已知扇形COD中，∠COD＝90°，DO＝CO＝6，点A是OC的中点，延长OC到点F，使CF＝OC，点P是 上的动点，点B是OD上的一点，BD＝1．

（i）求证：△OAP～△OPF；

（ii）求BP+2AP的最小值；

问题解决：

（3）如图③，有一个形状为四边形ABCD的人工湖，BC＝9千米，CD＝4千米，∠BCD＝150°，现计划在湖中选取一处建造一座假山P，且BP＝3千米，为方便游客观光，从C、D分别建小桥PD，PC．已知建桥PD每千米的造价是3万元，建桥PC每千米的造价是1万元，建桥PD和PC的总造价是否存在最小值？若存在，请确定点P的位置并求出总造价的最小值，若不存在，请说明理由．（桥的宽度忽略不计）

Answer 1

【答案】（1）3；（2）（i）详见解析；（ii）13；（3）建桥PD和PC的总造价最小值为12万元

【解析】

问题提出：

（1）当点A在线段BC上时，线段AC有最小值，可求解；

问题探究

（2）（i）由题意可得，由相似三角形的判定可得△OAP～△OPF；

（ii）由相似三角形的性质可得PF＝2AP，可得BP+2AP＝BP+PF，即当点F，点P，点B三点共线时，BP+2AP有最小值，最小值为BF，由勾股定理可求BP+2AP有最小值；

问题解决：

（3）以点B为圆心，3为半径作圆交AB于点E，交BC于点F，点P为上一点，连接BP，PC，PD，在BC上截取BM＝1，连接MD，过点D作DG⊥CB，可证△BPM∽△BCP，可得PC＝3PM，当点P在线段MD上时，建桥PD和PC的总造价有最小值，由勾股定理可求DM的值，即可求建桥PD和PC的总造价是否存在最小值．

解：问题提出：（1）∵当点A在线段BC上时，线段AC有最小值，

∴线段AC的最小值＝5﹣2＝3

故答案为：3

问题探究

（2）（i）∵点A是OC的中点，DO＝CO＝6＝OP，

∴

∵CF＝OC，

∴OF＝2OC＝2OP，

∴

∴，且∠AOP＝∠FOP

∴△OAP～△OPF；

（ii）∵△OAP～△OPF

∴

∴PF＝2AP

∵BP+2AP＝BP+PF

∴当点F，点P，点B三点共线时，BP+2AP有最小值，最小值为BF

∴DO＝CO＝6，BD＝1

∴BO＝5，OF＝12

∴BF＝＝13

问题解决：

（3）如图，以点B为圆心，3为半径作圆交AB于点E，交BC于点F，点P为上一点，连接BP，PC，PD，

在BC上截取BM＝1，连接MD，过点D作DG⊥CB，

∵，且∠PBM＝∠PBC，

∴△BPM∽△BCP

∴

∴PC＝3PM

∵建桥PD和PC的总造价＝3×PD+1×PC＝3PD+×3PM＝3（PD+PM）

∴当点P在线段MD上时，建桥PD和PC的总造价有最小值．

∵∠BCD＝150°

∴∠DCG＝30°，且DG⊥BC

∴DG＝DC＝，CG＝DG＝6

∴MG＝BC+CG﹣BM＝9+6﹣1＝14

∴MD＝

∴建桥PD和PC的总造价最小值＝万元