Question

5．如图，在直角坐标系中，O是原点，点C的坐标为C（12，5），点A在x轴的正半轴上，四边形OABC是直角梯形，经过点C的反比例函数的图象交AB于点D，且点D的纵坐标为2．
（1）求反比例函数的解析式，并求出点A、B的坐标；
（2）动点P、Q分别从过点O、B出发，做匀速运动，其中点P沿OA向终点A运动，速度为每秒3个单位，点Q沿BC，CO向终点O运动，速度为每秒4个单位，且同时出发，当这两点有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动，设运动的时间为t秒．
①当四边形OPQC是平行四边形时，求t的值；
②当四边形OPQC是直角梯形时，求t的值；
③直线PQ能否将梯形OABC的周长分成相等的两部分？如有可能，请求出t的值；如不可能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法求出反比例函数解析式，再利用点D在双曲线上，和直角梯形的性质即可得出结论；
（2）①由平行四边形的性质建立方程求解即可；
②由直角梯形的性质得出AP=BQ建立方程求解即可得出结论；
③假设存在，建立方程求解，判断是否符合题意即可．

解答 解：（1）设反比例函数的解析式为y=$\frac{k}{x}$，点C（12，5）在反比例函数图象上，
∴k=12×5=60，
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{60}{x}$，
∵点D在反比例函数图象上，
∴点D的横坐标为$\frac{60}{2}$=30，
∴D（30，2），
∵四边形OABC是直角梯形，
∴点A（30，0），B（30，5），

（2）由（1）知，A（30，0），B（30，5），
∵C（12，5），
∴OA=30，AB=5，BC=18，OC=13，

①当四边形OPQC是平行四边形时，点Q只能在边BC上，
由运动知，OP=3t，BQ=4t（0＜t＜4.5），
∴CQ=BC-BQ=18-4t，
∵四边形OPQC是平行四边形，
∴OP=CQ，
∴3t=18-4t，
∴t=$\frac{18}{7}$，

②当四边形OPQC是直角梯形时，点Q只能在边BC上，
由运动知，OP=3t，BQ=4t（0＜t＜4.5），
∴AP=OA-OP=30-3t，
∵四边形OPQC是直角梯形，
∴PQ⊥OA，
∴AP=BQ，
∴30-3t=4t，
∴t=$\frac{30}{7}$，

③直线PQ不能将梯形OABC的周长分成相等的两部分，
假设能，
由题意得，31-4t+3t=30-3t+5+4t，
∴t=-2，不符合题意，
∴直线PQ不能将梯形OABC的周长分成相等的两部分．

点评 此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，直角梯形的性质，平行四边形的性质，利用方程的思想解决问题是解本题的关键，是一道中等难度的中考常考题．