Question

【题目】如图，△ABC是等边三角形，AB=2，D是边BC的中点，点P从点A出发，沿AB﹣BD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．同时点Q从点C出发，沿CA﹣AC以每秒1个单位长度的速度运动．当点P停止运动时，点Q也随之停止运动，设点P的运动时间为t（秒），△PQD的面积为S．

（1）求线段PB的长（用含t的代数式）．

（2）当△PQD是等边三角形时，求t的值．

（3）当S＞0时，求S与t的函数关系式．

（4）若点D关于直线PQ的对称点为点D′，且S＞0，直接写出点D′落在△ABC的边上时t的值．

Answer 1

【答案】（1）BP=t﹣2；（2）1；（3）当0≤t≤2时，，当2＜t＜3时，．（4）1或2.5.

【解析】

试题分析: （1）根据当0≤t≤2和2≤t≤3时两种情况进行解答即可；

（2）根据等边三角形的性质和AAS证明△BPD与△CDQ全等解答即可；

（3）根据当0≤t≤2和2＜t＜3时两种情况，利用三角函数和三角形面积公式解答即可．

（4）根据点D′落在△ABC的边上两种情况解答即可．

试题解析：（1）∵△ABC是等边三角形，AB=2，

∴当0≤t≤2时，BP=2﹣t；

当2≤t≤3时，BP=t﹣2；

（2）如图1，∵△PQD是等边三角形，

∴∠PDQ=60°，

∴∠PDB+∠CDQ=120°，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠B=∠C=60°，

∴∠PDB+∠BPD=120°，

∴∠BPD=∠CDQ，

∵BD=CD，

在△BPD与△CDQ中，

，

∴△BPD≌△CDQ（AAS），

∴BP=CQ，

∴2﹣t=t，

∴t=1，

（3）当0≤t≤2时，如图2，连接AD，

∵△ABC是等边三角形，D是边BC的中点，

∴∠ADB=90°，

∴AD=ABsin60°=，

分别过点P，Q作PE⊥BC，QF⊥BC，垂足分别为点E，F，

在Rt△BPE中，∠BEP=90°，PE=PBsin60°=，

在Rt△QCF中，∠QFC=90°，QF=CQsin60°=，

过点Q作QG⊥AB于点G，

在Rt△AGQ中，∠AGQ=90°，QG=AQsin60°=，

∴S△PQD=S△ABC﹣S△BPD﹣S△QCD﹣S△APQ，

∴，

∴，

当2＜t＜3时，如图3

过点Q作QH⊥BC于点H，

在Rt△CQH中，∠CHQ=90°，

QH=CQsin60°=，

∴，

∴．

（4）点D′落在△ABC的边上，如图4，此时t=1；

点D′落在△ABC的边上，如图5，此时t=2.5．